パルス幅変調信号(APM)の原理と復元方法、問題

パルス幅変調(PAM)とは

ある周波数$f_m$の信号周期$T\leqq \frac{1}{2f_m}$ごとに標本化し、パルス状の波形を持つ信号に変換することを言います。(PAM：Pulse Amplitude. Modulationの略です。)

標本化した後の信号は、帯域幅が${\displaystyle \frac{1}{2T}}$以下の低域通過フィルタを用いれば、元の波形のみ復元できます。

受信側では、周期Tでサンプリングしていることが分かっています。そのため、受信した信号を周期Tで逆の処理をすれば、復元することができます。

パルス変調波形(PAM)の表現方法

フーリエ級数を用います。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}g(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(nT\right)\delta (t-nT)\end{array}\end{array}$$

のように表現できれば、nは整数でデルタ関数を重ね合わせているため、パルス波を表現できます。

パルス変調波形(PAM)の復調方法

復調後の波形を$y(t)$とし、フィルタ$H(f)$の時間領域表記を$h(t)$とすると、下記で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}y(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(nT)h(t-nT)\end{array}\end{array}$$

これは、下記の畳み込み積分の関係から来ています。($n$は整数)

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(\tau )h(t-\tau )d\tau \end{array}\end{array}$$

g(t)は$t=nT$でのみ値を持つ離散時間信号なので、(3)式になります。

なお、フィルタ$H(f)$の帯域が広いほど、$y(t)$で出力する$g(nT)$の整数nが多くなります。(3)で説明します。

解答例

(1)パルス波のフーリエ変換

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}G(f)& ={\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{\displaystyle \frac{1}{\tau }}{e}^{-j2\pi ft}dt\\ & ={\left[{\displaystyle \frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}}\right]}_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (\pi ft)}{\pi ft}}\end{array}\end{array}$$

$\tau \to 0$のとき、${\displaystyle \frac{\sin (x)}{x}}\fallingdotseq 1$だから

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}G(f)\fallingdotseq 1\end{array}\end{array}$$

単位インパルス関数になる。

(2)$g(t)$のフーリエ級数

問題文で与えられた公式より、矩形波の範囲は$-\frac{\tau }{2}\leqq t\leqq \frac{\tau }{2}$なので

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{ll}{a}_n& ={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}g\left(t\right)\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi nt}{T}}\right)dt\\ b_n& ={\displaystyle \frac{2}{T}}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}g\left(t\right)\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi nt}{T}}\right)dt\end{array}\end{array}$$

で、$g(t)$は偶関数なので、$b_n=0$

$a_n$について、問(1)の結果を利用し

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{ll}{a}_0& ={\displaystyle \frac{1}{T}}\\ a_n& ={\displaystyle \frac{2}{T}}{\displaystyle \frac{\sin (\pi n\tau t)}{\pi n\tau t}}\end{array}\end{array}$$

よって、$g(t)$のフーリエ級数は

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}g(t)={\displaystyle \frac{1}{T}}+{\displaystyle \frac{2}{T}}{\displaystyle \frac{\sin (\pi n\tau t)}{\pi n\tau t}}\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi nt}{T}}\right)\end{array}\end{array}$$

(3)低域通過フィルタを通した時の出力信号$y(t)$

フィルタの帯域${\displaystyle \frac{1}{T}}<B<{\displaystyle \frac{2}{T}}$について、$f<B<2f$と書き換えられる。

Bは絶対値なので、周波数0,±fのフーリエ級数を持つ$g(t)$がフィルタを通過する。$n=-1,0,1$の成分が対応する。

よって、出力信号は下記になる。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{r}g(t)={\displaystyle \frac{1}{T}}+{\displaystyle \frac{4}{T}}{\displaystyle \frac{\sin (\pi \tau T)}{\pi \tau T}}\left({\displaystyle \frac{2\pi nt}{T}}\right)\end{array}\end{array}$$

最後に

本問は、あまり院試では出ないかもしれません。

ただ、背景知識として出題されることがあります。

通信工学が試験範囲の大学院を受験される方は、是非理解しておくと良いです。