制御工学

伝達関数の簡単化院試や電検二種をはじめとする制御の問題が出題されるとき、序盤で伝達関数を求めることがよくあります。よく教科書では、下記の表でまとめられています。

可観測性とは注目している制御対象の内部状態を計算できること。を言います。可制御なシステムは、システムの出力を自由に制御できます。ただし、出力の計算に必要なシステムの内部状態は直接計測できず、出力から計算(推定)する必要があります。

倒立振子とは重心が支点の上にある運動系を指しています。上記の図のように、長さ\(2l\)の振子は、台車との接点を始点としています。重心は支点の上に存在するため、少しの外乱で横に傾いた時、重力に引っ張られて何もしないと倒れてしまいます。

ある制御対象を目標値に制御するためには、制御対象を適切な数学モデルに変換する必要があります。例えば、下記のような運動系(ばね-ダンパ)を考えます。ダンパとは、振動・運動エネルギーを減衰する機械部品です。

位相進み補償とはゲイン交差周波数付近の位相を進めて、位相余裕を増やすことを言います。実際、制御設計を進めていると、与えられた伝達関数の位相余裕がイマイチである場合があります。少しでも外乱を受けると、位相が-180度以上になりたちまち発散します。こういった事象を防ぐため、システムにある程度の位相余裕を持たせる必要があります。

根軌跡とはゲインKを0から∞に変化させたときの閉ループ伝達関数の根(極)の軌跡を言います。以前の記事で、ゲインKを増大させると、システムが不安定になりやすいことを説明しました。システムが不安定になりやすい=極の実部が正に近づくことを意味しています。では、どのくらいのKでどのくらい実部に近づくのか、制御設計をする上で定量的に知りたくなるはずです。そこで出てくるのが根軌跡です。

2次遅れ要素とは\(G\left( s\right) =\dfrac{K}{s^{2}+as+b}\)など、分母のsの次数が2次で表される伝達関数のことを言います。一般的に、システムの伝達関数は下記の形で表すことができます。

開ループ伝達関数\(G\left( s\right) =\dfrac{1}{2s^{4}+s^{3}+3s^{2}+5s+9}\)が安定であるか、以下の安定判別法それぞれを用いて示せ。(1)ラウスの安定判別法(2)フルビッツの安定判別法自動...

本問は、現代制御を院試範囲とする大学でよく出題されます。具体的には、九大、広島大で類題が出題されたことがあります。古典制御は入力-出力の関係が一対一になっているのでイメージがつきやすいですが、現代制御については、本問のように複数の入出力で成り立っています。関係式を一つ一つ紐解いていき、状態方程式にする作業が非常に重要になります。

伝達関数の分母分子に注目します。括弧内を\(1+As\)形にして、周波数領域\(1+Aj\omega \)に変換します。ωを大きくしていき、\(A\omega=1\)になったとき、分子ならば\(+20dB/dec\)、分母ならば\(-20dB/dec\)傾きを変化させます。