【制御工学】伝達関数とボード線図の問題

はじめに

複雑な伝達関数を簡単化する問題は、意外と院試で出題されます。(1)で結果を求め、その結果で(2)以降に続いていく段取りです。

本問も、それを意識して作りました。ボード線図を読み解く問題も頻出ですので、一緒に確認できればと思います。

解法の方針

伝達関数の簡単化

至ってシンプルです。与えられたブロック図の内容を数式に落とし込み、入力と出力の比を取る原則に従います。

ボード線図の読み方

伝達関数の分母分子に注目します。

括弧内を$1+As$形にして、周波数領域$1+Aj\omega$に変換します。

ωを大きくしていき、$A\omega =1$になったとき、分子ならば$+20dB/dec$、分母ならば$-20dB/dec$傾きを変化させます。

下記の図で例を示します。

括弧が一次の項ならば$+-20dB/dec$ですが、2次ならば$+-40dB/dec$です。次数にも注目しましょう。

解答例

(1)伝達関数の簡単化

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}A=G_1(X+{\displaystyle \frac{Y}{G_4}})-H_{1}R\\ Y=(A{G}_2-Y{H}_2)G_3{G}_4\end{array}\end{array}$$

第2式より

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (1+H_2{G}_3{G}_4)Y=G_2{G}_3{G}_{4}A\end{array}$$

第1式をこれに代入して

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}(1+H_2{G}_3{G}_4)Y& =G_1{G}_2{G}_3{G}_4(R+{\displaystyle \frac{y}{G_4}})+H_1{G}_2{G}_3{G}_{t}R\\ G\left(s\right)& ={\displaystyle \frac{Y}{R}}={\displaystyle \frac{G_2{G}_1{G}_4(G_1+H_1)}{1+H_2{G}_3{G}_4-G_1{G}_2{G}_3}}\end{array}\end{array}$$

(2)ボード線図の読み方

$$\begin{array}{}\text{(4)}& G\left(j\omega \right)={\displaystyle \frac{K(1+j\omega T_3)}{j\omega (1+i\omega T_1)(1+j\omega T_2)}}\end{array}$$

$\omega =20$で-20dB/dec傾きが急になるので、

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\displaystyle \frac{1}{T_2}}=20\iff T_2=0.05\end{array}$$

$\omega ={\displaystyle \frac{1}{T_1}}$で60dBなので、

$$\begin{array}{}\text{(6)}& 20log|K{T}_1|=60\iff K{T}_1={10}^3\end{array}$$

伝達関数のゲインは

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}20\log \left|{\displaystyle \frac{k}{\omega }}\right|+20\log \left|\omega T_3\right|-20\log \left|\omega T_1\right|-20\lg \left|\omega T_2\right|=0\end{array}\end{array}$$

と表すことができ、$\omega =20$のとき0になるので

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle \frac{k{T}_3}{T_1{T}_2}}={\omega }^2\text{(9)}& {\displaystyle \frac{k{T}_3}{T_1{T}_2}}=400\end{array}$$

また、$\omega =20$のとき$(1+s{T}_3)$と$\frac{K}{s}$成分のゲインが等しいので

$$\begin{array}{}\text{(10)}& 20\log \left|\omega T_3\right|=20\log \left|{\displaystyle \frac{k}{\omega }}\right|\text{(11)}& 20T_3={\displaystyle \frac{K}{20}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}k=400T_3\end{array}\end{array}$$

(5)(6)(9)(12)式を用いて具体的な値を求めていく

(9)より、${\displaystyle \frac{1}{20}}\cdot {\displaystyle \frac{k}{T_1}}\cdot T_3=400$

(6)(12)を代入して

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}20\cdot {\displaystyle \frac{K^2}{{10}^3}},{\displaystyle \frac{K}{400}}=400\\ k^3=8.0\times {10}^6\\ K=200\end{array}\end{array}$$

(12)より、

$$\begin{array}{}\text{(14)}& T_3=0.5\end{array}$$

(9)より、

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{rl}{T}_1& ={\displaystyle \frac{1}{400}}\cdot {\displaystyle \frac{K{T}_3}{T_2}}\\ & =5\end{array}\end{array}$$

最後に

ボード線図の読み解きは、特に九大で出題されます。同大学を志望される方は、是非本問で練習すると良いです。