【制御工学】外乱による定常偏差の問題

次の方程式により表現される制御系を考える。ただし、この制御系のブロック図は図1に与えられるものとする。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}e\left(t\right)=t\left(t\right)-y\left(t\right)\\ A{\displaystyle \frac{dp}{dt}}+\rho \left(t\right)=ke\left(t\right)\\ q\left(t\right)=\rho \left(t\right)+d\left(t\right)\\ B{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)+{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=q\left(t\right)\end{array}\end{array}$$

変数r(t),y(t),e(t),p(t),d(t)はそれぞれこの制御系の目標値、制御量、偏差、ブロック$G_1$の出力、外乱である。定数$A,B,K$は正の定数である。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 式(1)をラプラス変換し、図1の$G_1(s),G_2(s)$を求めよ。ただし、$y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$とせよ。

(2)r(t)=0とする。偏差$E(s)$を$G_1(s),G_2(s),D(s)$を用いて表せ。その結果を用いて、外乱$d(t)$が単位ステップ関数で与えられるときの定常偏差${\epsilon }_d$を求めよ。

東北大学 電気情報系院試 2007年8月 電気工学から一部抜粋

はじめに

本問は、前回の記事の続きです。今まで、入力に対する出力の定常偏差について説明してきましたが、本問は、外乱による定常偏差を考えます。

外乱は、入力とは別にシステムの途中から入力される量です。図1が分かりやすいです。その名の通り、入力に対する出力が外乱によってずれますので、これも勘案したシステム設計が必要です。

また、今まで紹介してきた問題は、伝達関数が予め与えられた状態で議論してきましたが、本問では微分方程式から始まります。

これを伝達関数に落とし込むところから始めますが、方針としてはシンプルです。入力に対する出力の比を取るように式を変形。未知数を削除していくのみです。

解答例

(1)微分方程式からの伝達関数の導出

式(1)をラプラス変換すると、以下のようになる

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}E\left(s\right)=R\left(s\right)-Y\left(s\right)\\ sAP\left(s\right)+p\left(s\right)=KE\left(s\right)\\ Q\left(s\right)=P\left(s\right)+D\left(s\right)\\ s^{2}BY\left(s\right)+sY\left(s\right)=Q\left(s\right)\end{array}\end{array}$$

ブロック線図より、

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P(s)=G_1(s)Q(s)\end{array}$$

なので、第二式と比較して

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P\left(s\right)={\displaystyle \frac{K}{sA+1}}E\left(s\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& G_1(s)={\displaystyle \frac{K}{sA+1}}\end{array}$$

また、

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}Y\left(s\right)=G_2\left(s\right)Q\left(s\right)\\ ={\displaystyle \frac{1}{s(sB+1)}}Q\left(s\right)\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& G_2(s)={\displaystyle \frac{1}{s(sB+1)}}\end{array}$$

(2)外乱による定常偏差

偏差$E(s)=R(s)-Y(s)$で、$R(s)=0$より

$$\begin{array}{}\text{(8)}& E(s)=-Y(s)\end{array}$$

外乱分による出力は下記で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}Y\left(s\right)=-G_1{G}_{2}Y(s)+G_{2}D\left(s\right)\end{array}\end{array}$$

これを変形し、

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}Y(s)& =-{\displaystyle \frac{G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}}D(s)\\ & =-{\displaystyle \frac{sA+1}{s(sA+1)(sB+1)+K}}D(s)\end{array}\end{array}$$

$D(s)={\displaystyle \frac{1}{s}}$と最終値の定理から、求める定常偏差は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{rl}{\epsilon }_d& =\underset{s\to 0}{lim}-s{\displaystyle \frac{sA+1}{s(sA+1)(sB+1)K}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{s}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{K}}\end{array}\end{array}$$

最後に

本問は、(9)式を立てられるかが肝です。これさえできれば、後は式(8)に代入し、最終値の定理から結果が求まります。