【分布定数回路】特性インピーダンスが異なる線路を直列接続した問題

下記のように、端子2を境に特性インピーダンスが異なる分布定数回路を直列接続する。端子3を特性インピーダンス$Z_{02}$で終端したとき、端子1から見る入力インピーダンス$Z_{in}$を求めよ。なお、回路は無損失ではない。伝搬定数$\gamma$を使用し、F行列は双曲線関数で計算せよ。

はじめに

前回の記事では、端子2を境に線路が分岐した並列回路を解説しました。今回は、直列接続だが特性インピーダンスが途中で変わる回路について解説していきます。

どのような問題であれ、F行列を用いることが解法の起点になります。

この記事で覚えてほしいこと

集中定数の二端子対回路問題で、下記のような回路を見かけたことはありませんか。

端子間のF行列が分かっていれば、それを掛け合わせることで全体のF行列が分かりました。

分布定数に関しても同じで、特性インピーダンスが切り替わる前後のF行列をそれぞれ求め、掛け合わせることができます。

全体のF行列$F=\left(\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right)$が分かれば、後は下記の関係から入力インピーダンス$Z_{in}$を求められそうです。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{c}{V}_1\\ I_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{F}_{11}& F_{12}\\ F_{21}& F_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_3\\ I_3\end{array}\right)\end{array}$$

※$V_3$は端子3(出力端)にかかる電圧です。

解答例

全体のF行列

端子1-2間のF行列を$F_1$、端子2-3間のF行列を$F_2$とすると

$$\begin{array}{}\text{(2)}& F_1=\left(\begin{array}{cc}\cosh {\gamma }_1{l}_1,& Z_{01},\sin h{\gamma }_1{l}_1,\\ {\displaystyle \frac{\sinh {\gamma }_1{l}_1}{Z_{01}}}& \cosh {\gamma }_1{l}_1\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& F_2=\left(\begin{array}{cc}\cosh {\gamma }_2{l}_2,& Z_{02},\sin h{\gamma }_2{l}_2,\\ {\displaystyle \frac{\sinh {\gamma }_2{l}_2}{Z_{02}}}& \cosh {\gamma }_2{l}_2\end{array}\right)\end{array}$$

なので、全体のF行列は、$F=F_1{F}_2$より

$$\begin{array}{}\text{(4)}& F& =\left(\begin{array}{cc}\cosh {\gamma }_1{l}_1,& Z_{01},\sin h{\gamma }_1{l}_1,\\ {\displaystyle \frac{\sinh {\gamma }_1{l}_1}{Z_{01}}}& \cosh {\gamma }_1{l}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cosh {\gamma }_2{l}_2,& Z_{02},\sin h{\gamma }_2{l}_2,\\ {\displaystyle \frac{\sinh {\gamma }_2{l}_2}{Z_{02}}}& \cosh {\gamma }_2{l}_2\end{array}\right)\text{(5)}& & =\left(\begin{array}{cc}\cos {\gamma }_1{l}_1\cos h{\gamma }_2{l}_2+{\displaystyle \frac{Z_{01}}{Z_{02}}}\sin h{\gamma }_1{l}_1\sin h{\gamma }_2{l}_2& Z_{01}\sin h{\gamma }_1{l}_1\cos h{\gamma }_2{l}_2+Z_{02}\cos h{\gamma }_1{l}_1\sin h{\gamma }_2{l}_2\\ {\displaystyle \frac{\sin h{\gamma }_1{l}_1\cosh {\gamma }_2{l}_2}{Z_{01}}}+{\displaystyle \frac{\cos h{\gamma }_1{l}_1\sin h{\gamma }_2{l}_2}{Z_{02}}}& {\displaystyle \frac{Z_{02}\sin h{\gamma }_1{l}_1\sin h{\gamma }_2{l}_2}{Z_{01}}}+\cos h{\gamma }_1{l}_1\cos h{\gamma }_2{l}_2\end{array}\right)\end{array}$$

入力インピーダンスの計算

前章の説明から、(1)式のF行列には(5)式の内容が入る。

$V_3=Z_{02}{I}_3$より、$I_2$を消去して$Z_{in}$を計算する。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& Z_{in}& ={\displaystyle \frac{V_1}{I_1}}\text{(7)}& & ={\displaystyle \frac{Z_{02}\cosh {\gamma }_1{l}_1(\cosh {\gamma }_2{l}_2+\sinh {\gamma }_2{l}_2)+Z_{01}\sinh {\gamma }_1{l}_1(\cosh {\gamma }_2{l}_2+\sinh {\gamma }_2{l}_2)}{{\displaystyle \frac{Z_{02}}{Z_{01}}}\sin h{\gamma }_1{l}_1(\cosh {\gamma }_2{l}_2+\sinh {\gamma }_2{l}_2)+\cosh {\gamma }_1{l}_1(\cosh {\gamma }_2{l}_2+\sinh {\gamma }_2{l}_2)}}\text{(8)}& & ={\displaystyle \frac{Z_{02}\cosh {\gamma }_1{l}_1+Z_{01}\sin h{\gamma }_1{l}_1}{{\displaystyle \frac{Z_{02}}{Z_{01}}}\sinh {\gamma }_1{l}_1+\cosh {\gamma }_1{l}_1}}\text{(9)}& & =Z_{01}{\displaystyle \frac{Z_{02}+Z_{01}\tan h{\gamma }_1{l}_1}{Z_{02}\tanh {\gamma }_1{l}_1+Z_{01}}}\end{array}$$

であることが分かった。

最後に

本問は、非常に計算が大変です。。

途中の計算ミスが怖いですが、防止するためのイメージだけ最後にお伝えします。

本問の条件だと、端子3が特性インピーダンス$Z_{02}$で終端されています。

この結果、端子2以降は無限長であるとみなせます。この結果、端子1から見ると端子2が特性インピーダンス$Z_{02}$で終端されているようになるため、${\gamma }_2$は答えに出てこないです。

こういったイメージを掴んでおくことで、計算ミスを防ぐことができます。