【分布定数回路】出力端を開放、短絡したときの過渡現象の問題

はじめに

今までの記事にて、分布定数回路の問題を複数紹介してきました。しかし、全て定常状態の前提でのお話でした。本記事では、過渡状態における考え方を紹介します。

本記事で覚えたいこと

以前の記事でお話しした通り、分布定数回路は、集中定数回路のように短い距離を想定していません。長い距離を想定しているため、出力端まで電流、電圧が届くまでに時間があります。

出力端まで届いたときも、それで定常状態になるわけではありません。反射係数が0でないとき、反射波が発生します。これにより、入射波と反射波の重ね合わせが発生し、波の大きさは変化します。

これが、反射波が0になるまで減衰するまで続きます。

反射係数が$|\mathrm{\Gamma }|<1$のときは、反射波が入射波に対し$\mathrm{\Gamma }$倍することを繰り返すので、いずれ0に収束します。

しかし、反射係数が$|\mathrm{\Gamma }|=1$のときは、反射波の絶対値は入力波と同じのため、計算収束しません。これを、次章で見ていきます。

解答例

(a) 入力端に特性インピーダンス$Z_0$が接続されているとき

入力端の電圧反射係数は$$\begin{array}{}\text{(1)}& |{\mathrm{\Gamma }}_0|={\displaystyle \frac{Z_0-Z_0}{Z_0+Z_0}}=0\end{array}$$

です。これに対し、出力端の反射係数は、(i)開放 (ii)短絡 で変わります。

それぞれの振る舞いを下記で見ていきましょう。

(i) 出力端を開放したとき

出力端の電圧反射係数は、$Z=\infty$なので、$$\begin{array}{}\text{(2)}& |{\mathrm{\Gamma }}_l|={\displaystyle \frac{Z-Z_0}{Z+Z_0}}=1\end{array}$$である。

$t=0$のとき、入力端に接続している特性インピーダンス$Z_0$と分布定数回路の特性インピーダンス$Z_0$の直列接続と考える。入力端に入射する波(電圧$v$、電流)$i$は、下記で与えられる。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& & v={\displaystyle \frac{Z_0}{Z_0+Z_0}}E={\displaystyle \frac{E}{2Z_0}}\text{(4)}& & i={\displaystyle \frac{E}{2Z_0}}\end{array}$$

これが、出力端まで到達する$0<t<{\displaystyle \frac{l}{v}}$まで、位置$x=vt$まで伝搬する。

次に、${\displaystyle \frac{l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{2l}{v}}$を考える。出力端の電圧反射係数1なので、入射波と同じ位相、大きさの反射波が発生する。よって、入力波と反射波を重ねた波(電圧)は入力波の2倍になる。

一方で、電流の場合を考える。出力端は開放されているため、反射波(電流)は発生しない。$I=0$になるため、位相が入力波と逆の反射波が発生する。

最後に、${\displaystyle \frac{2l}{v}}<t$を考える。反射波が入力端まで到達した後である。電圧反射係数が0のため、これ以上反射波は発生しない。

よって、定常状態となり、以下のように図示できる。

全区間$0\leqq x\leqq l$において、電圧は$E$、電流$I$は0。

(ii) 出力端を短絡したとき

出力端の反射係数が変化し、

$$\begin{array}{}\text{(5)}& |{\mathrm{\Gamma }}_l|={\displaystyle \frac{0-Z_0}{0+Z_0}}=-1\end{array}$$

となり、${\displaystyle \frac{l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{2l}{v}}$以降の波形が変わります。

$0<t<{\displaystyle \frac{l}{v}}$のとき、(i)と同じ

${\displaystyle \frac{l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{2l}{v}}$のとき、反射波(電圧)は入力波と逆の位相で同じ大きさで発生する。

一方で、反射波(電流)は、入力波と同じ位相で同じ大きさで発生する。

よって、入力波と反射波を重ね合わせた合成波(電圧)は0。合成波(電流)は入力波の2倍になる。

${\displaystyle \frac{2l}{v}}<t$のとき、定常状態となり、下記の図になる。

このように、(i)と(ii)で電圧と電流の関係が逆になることが分かりました。

(b) 入力端にインピーダンスが存在しないとき

入力端の電圧反射係数は、$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathrm{\Gamma }}_0={\displaystyle \frac{0-Z_0}{0+Z_0}}=-1\end{array}$$

前節より、出力端を (i)開放 (ii)短絡 にしたとき、それぞれの反射係数は$\mathrm{\Gamma }=1,-1$になります。絶対値を取ると1のため、ある値に収束しないことが予想されます。

(i) 出力端を開放したとき

入力端は、${\mathrm{\Gamma }}_0=-1$、出力端は、${\mathrm{\Gamma }}_l=1$のため入力波の増幅と打消しを繰り返す。

$0<t<{\displaystyle \frac{l}{v}}$,${\displaystyle \frac{l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{2l}{v}}$までは、(a)(i)と同じ。

ただし、$t=0$での入力端における電圧、電流は、特性インピーダンス$Z_0$が無くなった分2倍になる。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& & v={\displaystyle \frac{Z_0}{Z_0}}E={\displaystyle \frac{E}{Z_0}}\text{(8)}& & i={\displaystyle \frac{E}{Z_0}}\end{array}$$

${\displaystyle \frac{2l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{3l}{v}}$のとき、入力端で逆向きの位相の反射波(電圧)が発生する。このため、入力波に対して反射波は打ち消しあう。

一方で、電流の場合は同じ位相のため、増幅し合う。

${\displaystyle \frac{3l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{4l}{v}}$のとき、

出力端で波の反射が発生する。入力波(電圧)を増幅する。負の方向のため、反射波も負

入力波(電流)は打ち消し合うため、以下のような波形になる。

${\displaystyle \frac{4l}{v}}<t<{\displaystyle \frac{5l}{v}}$のとき、$0<t<{\displaystyle \frac{l}{v}}$と同じになります。

以降、上記を繰り返します。

(ii) 出力端を短絡したとき

入力端は、${\mathrm{\Gamma }}_0=-1$、出力端は、${\mathrm{\Gamma }}_l=-1$になる。

入力波(電圧)は、増幅と打消しを繰り返す。

入力波(電流)は、増幅を繰り返す。

$t={\displaystyle \frac{l}{v}}$ごとに増幅するため、以下のような波形になる。

電流が増幅し続け、収束しないことが分かりました。

最後に

分布定数回路の過渡現象を考える問題でオーソドックスなものになります。よって、本問が解けるようになる=汎用性の高い解法を覚えることができます。繰り返し計算することで、是非自身のものにしてください。

参考文献

詳解 電気回路演習(下)：大下 眞二郎(著) P304-307