【分布定数回路】並列接続時の問題解法

下図(左)のように、端子2から二手に分岐する分布定数回路(無損失)を考える。
これを下図(右)のように$Z_2$で終端したインピーダンスと等価であると考えると、$Z_2$はどのような式で表されるか？また、端子2で反射波が発生しないために、$Z_3$が満たすべき条件は何か。
なお、どの地点でも特性インピーダンスは$Z_0$とし、端子2-3、端子2-4の距離は$\frac{\lambda }{4}$とする。

はじめに

分布定数回路と検索してのアクセスが多いので、さらに類題を紹介します。今回は、並列回路について紹介します。

見た目が仰々しいですが、今までの記事で紹介した考え方を基本として解くことができます。

本記事で覚えてほしいこと

分布定数回路と言えども、基準点からある地点を見た時のインピーダンスは集中定数で表すことができます。このため、端子2から分岐していようとも、分岐先を見たインピーダンスを並列することで、インピーダンス$Z_2$を表すことが出来ます。

位相定数$\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$は、物理学での波数を表しています。これに距離xをかけると位相が分かります。今回は、端子2から3,4への距離は$\frac{\lambda }{4}$のため、掛け合わせると\frac{\pi}{2}になります。

以前の記事で紹介したように、無損失分布定数回路のF行列は以下で表されます。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{cc}\cos \beta x& j{Z}_0\sin \beta x\\ j{\displaystyle \frac{1}{Z_0}}\sin \beta x& \cos \beta x\end{array}\right)\end{array}$$

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0,\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$のため、F行列は下記のようになります。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left(\begin{array}{cc}0& j{Z}_0\\ j{\displaystyle \frac{1}{Z_0}}& 0\end{array}\right)\end{array}$$

反射波が発生しない条件は、こちらの記事で説明しています。端子2におけるインピーダンス$Z_2$が特性インピーダンスに等しいとき、反射係数=0で題意を満たします。

解答例

端子2から3を見たインピーダンス

端子3に流れる電流を$I_3$、電圧を$V_3$とする。

前章のF行列の関係から、下記の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left(\begin{array}{c}{V}_{23}\\ I_{23}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& j{Z}_0\\ j{\displaystyle \frac{1}{Z}}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_3\\ I_3\end{array}\right)\end{array}$$

抵抗$Z_3$が接続されているので、$V_3=Z_3{I}_3$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{V}_{23}=j{Z}_0{I}_3\\ I_{23}=j{\displaystyle \frac{Z_3{I}_3}{Z_0}}\end{array}\end{array}$$

と連立できるので、$Z_{23}={\displaystyle \frac{V_{23}}{I_{23}}}={\displaystyle \frac{Z_0^2}{Z_3}}$

端子2から4を見たインピーダンス

端子4は短絡しているので、$V_4=0$

よって、F行列は以下の式で表される。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{V}_{24}=j{Z}_0{I}_4\\ I_{24}=j{\displaystyle \frac{V_4}{Z_0}}=0\end{array}\end{array}$$

これより、$Z_{24}={\displaystyle \frac{V_{24}}{I_{24}}}={\displaystyle \frac{j{Z}_0{I}_4}{0}}=\infty$

端子2における等価インピーダンス

前節までの経過から、$Z_{23},Z_{24}$が求められた。

これを並列することを考える。$Z_{24}=\infty$の条件に注目し

$$\begin{array}{}\text{(6)}& Z_2={\displaystyle \frac{Z_{23}{Z}_{24}}{Z_{23}+Z_{24}}}=Z_{23}={\displaystyle \frac{Z_0^2}{Z_3}}\end{array}$$

であることが分かった。

端子2で反射波が発生しない条件

$Z_2$が特性インピーダンスと等しければ良いので

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\displaystyle \frac{Z_0^2}{Z_3}}=Z_0\iff Z_3=Z_0\end{array}$$

発展：反射波が発生しないとき、出力端で消費する電力は最大

本問の補足で、以下の回路を考えます。このとき、出力端での消費電力$P$を考えます。

(1)式より

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{l}{V}_1=R{I}_2\cos \beta l+j{Z}_0{I}_2\sin \beta l\\ I_1=j{\displaystyle \frac{R{I}_2}{Z_0}}\sin \beta l+I_2\cos \beta l\end{array}\end{array}$$

$V_1=E-Z_0{I}_1$より、入力電圧と出力電流は下記の関係で整理できる。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& E& =\{(R+Z_0)\cos \beta l+j(R+Z_0)\sin \beta l\}{I}_2\text{(10)}& & =I_2={\displaystyle \frac{E_0}{(R+Z_0)\cos \beta l+j(R+Z_0)\sin \beta l}}\end{array}$$

このときの出力端における消費電力は、$P=R|I_2{|}^2$より

$$\begin{array}{}\text{(11)}& P={\displaystyle \frac{R{\left|E\right|}^2}{{(R+Z_0)}^2}}\end{array}$$

消費電力の最大値は、相加相乗平均の関係より、$R=Z_0$のとき

$$\begin{array}{}\text{(12)}& P_{max}={\displaystyle \frac{{\left|E\right|}^2}{4Z_0^2}}\end{array}$$になり、反射波が発生しない条件(インピーダンス整合)と一致します。

物理的には、入力波が全て抵抗で消費される状態を表しており、計算結果とつじつまが合います。

最後に

F行列に対し、回路の条件を代入して最終的に答えを求める方針は、以前の記事から変わりません。暗記がまだの方は、是非とも覚えることを推奨します。