【水力発電】発電の仕組みと発電電力の計算問題

水力発電に関する以下の問いに答えよ。

(a)流量$20.0m^3/s$、有効落差$81.0m$の水源から得られる発電電力を求めなさい。ただし、水の比重は1.00、重力加速度は$9.80m/s^2$、水車及び発電機の効率をいずれも100%とする。

水力発電で用いる水車は、その形式毎に適した回転数があり、相似形の水車の比速度で表される。有効落差$H$で使用される回転数$N$、出力Pの水車の比速度$N_s$は、$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}{N}_s=N\frac{P^{1}2}{H^{5}4}\end{array}\end{array}$$で与えられる。

(b)ある水車を(a)の水源で使用する場合、$N_s\leqq 228rpm$の制限がある。この$N_s$は(m-kW)で定義される値である。この水車の実際の回転数の上限を求めなさい。ただし、水車の出力は(a)で求めた発電電力に等しいと考えなさい。

神戸大学 電気電子工学専攻 院試 電力工学 2023より

水力発電とは

水の持つ力学的エネルギーを電気エネルギーに変換することを言います。

ニュースでも良く目にする用語で、イメージはできるかもしれません。理科的な文言で説明すると上記になります。

下記の流れでエネルギー変換。発電します。

火力発電、原子力発電も同じ考え方です。

水力発電のように、水(液体)では無いですが、水蒸気でプロペラ(タービン)を回します。

水車の種類

大きく分けて2種類あります。

衝動水車

上流から流れてきた水を速度エネルギーに変換し、ノズルから水車のランナ(バケット：水の受け口)に水をぶつけて回転させるものです。

有効落差の高い発電所でよく使います。

衝動水車の種類としては、ペルトン水車があります。

出力調整には、デフレクタを用い、ランナに当たる水量を調節します。

反動水車

衝動水車のように、水を直接ぶつけて回転させるのではなく、水が流れた時に発生する反作用で回転します。

縦軸フランシス水車の場合を下記に示します。水車がある高さまで水が落ちた時、円環上の流路に沿って水が流れ、径方向に設置されているガイドに周方向の力がかかります。

この結果、周方向に回転し発電する。という流れになります。

なお、発電機を地面に設置することはできないので、どうしても設置した高さ分有効落差が小さくなります。物理的に、どうしても発電電力が低下します。

吸出管を使用すると、この問題を低減することができます。

吸出菅は、ランナの出口から放水路に向かって、出口の断面積が大きくなっている頂点が無い円錐状の管です。

出口の断面積が大きくなるので、単位時間当たりの速度が小さくなります。これにより、ランナの出口での圧力も小さくなります。有効落差が小さくなり、発生した損失のいくつかを出力に戻すことができます。(回復水頭と言います。)

吸出菅を利用することのデメリット

ランナ出口の圧力が小さくなり、飽和水蒸気圧を下回ると気泡が発生します。気泡が破裂すると、ランナにダメージが入り、穴が開きます。

これをキャビテーションと言います。

キャビテーションを防止するためには、以下の方策があります。

補足

他、カプラン水車を初め、様々な水車がありますが、本記事では取り上げないことにします。

まずは、発電電力の計算や、上記で説明した概要の理解を急ぐ方が、試験での得点期待値が上がります。

本記事の最後に参考文献を紹介します。そこで、落差毎によく使われる水車の種類の理解を進めると良いです。

発電電力の計算

まず、下記の式を覚えましょう。

$P:\mathrm{発}\mathrm{電}\mathrm{電}\mathrm{力}、\rho ：\mathrm{水}\mathrm{の}\mathrm{密}\mathrm{度}、h：\mathrm{有}\mathrm{効}\mathrm{落}\mathrm{差}、Q：\mathrm{流}\mathrm{量}、{\eta }_1：\mathrm{水}\mathrm{車}\mathrm{の}\mathrm{効}\mathrm{率}、{\eta }_2：\mathrm{発}\mathrm{電}\mathrm{機}\mathrm{の}\mathrm{効}\mathrm{率}$とし

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}P=\rho ghQ{\eta }_1{\eta }_2\end{array}\end{array}$$

で表されます。

イメージとしては、高校物理で勉強した位置エネルギー$mgh$を流体に対して適用します。

$g,h$は共通で、$m=\rho Q$とすると、(1)式になります。

流量が多いほど、単位時間当たりの通過体積が大きくなるので、$m$が大きくなる理屈ですね。

比速度とは

考えている水車と相似な水車を仮想し、1mの落差で1kWの出力を発生させるときの回転速度を言います。

(1)式で表すことができます。

要は、水車の発電電力が大きく、有効落差が低いほど、回転速度が高い=比速度が大きい となります。

出力$P$を一定に取り、回転速度$N$を大きくとるほど、発電機をコンパクトにすることができ、経済的です。

ただし、水の圧力水頭が小さくなるため、キャビテーションが発生するリスクが高まります。

解答例

(1) 発電電力の算出

(2)式より

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}P& =9.8\ast 81\ast 20\ast 1\ast 1\\ & =15876[kW]\\ & =15.9[MW]\end{array}\end{array}$$

(2) 回転数の上限

(1)式に各パラメータを代入する。

まず、$P^{\frac{1}{2}}=\sqrt{15876}=126$

$H^{\frac{5}{4}}={81.0}^{\frac{5}{4}}=243$より

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}N& \leqq 228\ast {\displaystyle \frac{243}{126}}\\ & \leqq 439.7\end{array}\end{array}$$

以上より、回転数の上限は、439.7rpm

参考文献

電力発生工学：加藤政一・中野茂・西江嘉晁・桑江良明(共著)、第2章