【火力発電】熱力学第一法則を利用した気体の状態変化の考察問題

火力発電の基礎となる理想気体の状態変化について考える。下記の問いに答えよ。

(a)気体の圧力をP、体積変化をdV、内部エネルギー変化をdU、与える熱量を\(dQ’\)とするとき、熱力学第一法則を方程式で表しなさい。

(b)圧力Pのときに微小熱量\(dQ’\)を与えて等温変化させたときの体積変化と内部エネルギー変化とを求めなさい。

(c)圧力P、体積Vの状態から体積を2Vまで等温変化させたときの圧力を求めなさい。

(d)圧力Pのときに断熱変化で体積をdVだけ微小変化させたときの内部エネルギーの増加量を求めなさい。

神戸大学大学院 電気電子工学専攻 電力工学 2023より抜粋

気体の状態変化の考え方

熱力学第零法則、第一法則、第二法則、第三法則に従います。それぞれ、下記を表しています。

第一法則が一番重要です。試験問題では、気体に様々な変化を加えていき、エネルギー収支を議論する際に使用する式だからです。

定義に基づくと、気体に加えた変化ごとに発生する条件式は下記になります。

高校物理(熱力学)でも勉強した方は多いのではないでしょうか。大学以降でも、試験問題を解く際に使用することがあります。

他、ボイルシャルルの法則も使います。変化前の気体の圧力、温度、体積を\(P_{1},T_{1},V_{1}\)、変化後の圧力、温度、体積を\(P_{2},T_{2},V_{2}\)とすると下記式が成立します。

\begin{aligned}\dfrac{P_{1}V_{1}}{T_{1}}=\dfrac{P_{2}V_{2}}{T_{2}}\end{aligned}

変化前後で温度が一定のときは\(T_{1}=T_{2}\)で分母が消えます。\(P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\)
また、体積が一定のときは\(V_{1}=V_{2}\)で分子が圧力項のみになります。\(\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}\)

それぞれ、ボイルの法則、シャルルの法則と言います。

専門書では、本記事の知識を利用し、後段のカルノーサイクルや、ランキンサイクルなどの状態変化の説明をしています。

注意

本章で紹介した関係式は、あくまで理想気体であることが前提です。

実際は、圧縮係数の関係で誤差が発生します。

プラントの場合、高圧ガスを扱うことが主ですから、圧縮係数は１より大きくなります。同じ圧力でも理想気体に対し、密度が大きくなります。この観点は、一般知識として持っておきましょう。

電気系専攻だとあまり気にしませんが、特に機械系技術者の方と話すときには注意した方が良いです。

解答例

(a)熱力学第一法則の式表示

気体が外部に対して行った仕事は、体積の変化量に注目し

\begin{aligned}dW=pdV\end{aligned}

これを熱力学第一法則の式に代入することで、下記の式が得られる。

\begin{aligned}dU=d’Q-pdV\end{aligned}

(b)等温変化時の体積変化、内部エネルギー変化

等温変化のため、内部エネルギー変化\(dU=0\)

これを(2)式に代入し整理すると、体積変化は

\begin{aligned}dV=\dfrac{dQ}{P}\end{aligned}

(c)等温変化時の圧力変化

ボイルの法則より、変化後の圧力を\(P’\)とすると

\begin{aligned}PV=P’*2V \\ P’=\dfrac{P}{2}\end{aligned}

(d)断熱変化時の内部エネルギー変化量

断熱変化のため、\(dQ=0\)

これを(2)式に代入し、求める内部エネルギー変化量は

\begin{aligned}dU=-pdV\end{aligned}