【重積分】極座標変換できない文字が入った3重積分

下記の積分値を求めよ。ただし、$(a>0,b>0)$とする。積分領域は式(2)で与えられる。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& V(t)={\int }_V{\displaystyle \frac{dV}{\sqrt{{(x-b)}^2+y^2+z^2}}}\text{(2)}& V：x^2+y^2+z^2\geqq a^2\end{array}$$

はじめに

本問は、複雑な計算になります。与えられた領域Vから極座標変換すると良いと考えられます。しかし、これだけでは定数$b$が残ります。続きの計算はどのように行うのでしょうか。

なお、同じ形式の問題が農工大で出題されたことがあります。同大学を志望する方は是非チェックしてください。

本記事で覚えたいこと

拍子抜けするCHECK項目で申し訳ありません。下記節のように、教科書で説明されている極座標変換することが、実はカギになります。

式(1)の$\sqrt{}$内に$(x-b{)}^2$があるからと言って、$(x-b)=r\sin \theta$と変換することはオススメしません。積分領域が煩雑になるからです。

一方で、$x=r\sin \theta$とおくと、領域は簡単になるものの式が難しくなります。どちらを取る話になりますが、後者の方が高校数学で経験のある計算に帰着できます。お勧めです。

ただし、計算結果に絶対値が付きますので、丁寧に場合分けすることが必要です。

極座標変換の方法

他サイトでもよく紹介されていますが、本サイトでも概要説明します。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \cos \phi ,z=r\sin \theta \sin \phi \end{array}$$とすると、ヤコビアン$J$は

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}}& {\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \theta }}& {\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi }}\\ {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial r}}& {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \theta }}& {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \phi }}\\ {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r}}& {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta }}& {\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \phi }}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right|\\ & =r^2\sin \theta \end{array}\end{array}$$

積分領域は下記のようになる。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 0\le r\le a,0\le \theta \le \pi ,0\le \phi \le 2\pi \end{array}$$

解答例

前章により、式(1)を極座標変換する。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}V\left(t\right)& ={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{a}dr{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{r^2\sin \theta d\theta }{\sqrt{{(r\cos \theta -b)}^2+r^2{\sin }^2\theta }}}\\ & =2\pi {\int }_0^a{r}^{2}dr{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{\sin \theta d\theta }{\sqrt{r^2-2rb\cos \theta +b^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{rb}}2\pi {\int }_0^a{r}^{2}dr{\left[\sqrt{r^2-2rb\cos \theta +b^2}\right]}_0^{\pi }\\ & =2\pi {\int }_0^a{r}^{2}dr{\displaystyle \frac{1}{rb}}(|r+b|-|r-b|)\end{array}\end{array}$$

$\sqrt{}$内の式が難しくとも、積分できる形に帰着できました。

他の問題もこういったパターンが多いです。領域を工夫するより、計算を頑張りましょう。

ここから先は絶対値の値次第で結果が変わります。順に場合分けしていきます。

(i)$b>a$のとき、$|r-b|<0$だから

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}V(t)& =2\pi {\int }_0^a{r}^{2}dr{\displaystyle \frac{1}{rb}}2r\\ & =2\pi {\displaystyle \frac{2}{b}}{\int }_0^a{r}^{2}dr\\ & ={\displaystyle \frac{4\pi a^3}{3b}}\end{array}\end{array}$$

(ii)$b<a$のとき

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{rb}}(|r+b|-|r-b|)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2}{b}}(0\le r\le b)\\ {\displaystyle \frac{2}{r}}(b\le r\le a)\end{array}\end{array}\end{array}$$

を利用して

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}V(t)& =2\pi ({\int }_0^b{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{b}}dr+{\int }_a^b{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{r}}dt)\\ & ={\displaystyle \frac{4\pi }{b}}({\left[{\displaystyle \frac{r^3}{3}}\right]}_0^b+b{\left[{\displaystyle \frac{r^2}{2}}\right]}_a^b)\\ & =2\pi a^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi b^2\end{array}\end{array}$$

最後に

大学入試並みの計算量ですが、院試でもこのレベルがたまに出てきます。油断することなく、是非自分のものにしてください。