フーリエ余弦変換を利用した積分計算

$f(x)=e^{-a|x|}$をフーリエ変換し、その結果を利用して下記の積分値を求めよ。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3}{9+x^2}}dx\end{array}$$
ただし、以下の公式を利用して良い。
$$\begin{array}{}\text{(2)}& F\left(\omega \right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)e^{-j\omega x}dx\text{(3)}& f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\omega \right)e^{j\omega x}d\omega \end{array}$$

はじめに

exp項のフーリエ変換は、素直に計算すると手間がかかります。留数定理が必要だからです。

そこで、本記事では、フーリエ余弦変換に注目します。exp項ではなく、cos項に注目してフーリエ変換を行えば、計算が非常に楽になります。

本記事で覚えたいこと

１．が重要です。

与えられた関数$f(x)=e^{-a|x|}$は、$f(-x)=e^{-a|x|}=f(x)$であるため、偶関数です。

$\sin$項は奇関数のため、f(-x)=-f(x)です。負の領域と正の領域を積分する場合、相殺し合うので初めから無視して良いです。

よって、$$\begin{array}{}\text{(4)}& F[f(x)]={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-a\left|x\right|}{e}^{-i\omega x}dx\text{(5)}& ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}\cos \omega xdx\end{array}$$

と変形できます。式(4)は減衰積分のため、このままでも高校数学で行ったように部分積分を2回行えば右辺にも左辺と同じ積分項が出てきます。ただ、計算に手間がかかってしまいます。

一方で式(5)は、この結果に対しオイラーの公式を用いて$\cos$項をexp項に分解し、積分する一本道の方針で良いです。

フーリエ変換は、偶関数の性質をよく使います。本問を通して是非覚えましょう。

解答例

フーリエ変換

前章のように、$f(x)$をフーリエ変換する。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& (5)& ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}\cos \omega xdx\text{(7)}& & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(e^{-(a-i\omega )x}+e^{-(a+i\omega )x})dx\text{(8)}& & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{[{\displaystyle \frac{e^{-(a-i\omega )x}}{-(a-i\omega )}}-{\displaystyle \frac{e^{-(a+i\omega )x}}{a+i\omega }}]}_0^{\mathrm{\infty }}\text{(9)}& & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}({\displaystyle \frac{1}{a-i\omega }}+{\displaystyle \frac{1}{a+i\omega }})\text{(10)}& & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\displaystyle \frac{2a}{a^2+{\omega }^2}}\end{array}$$

フーリエ逆変換を利用した積分

ここまで来れば、前回の記事と同じように、求めたい積分式と同じ形になるように値を代入していくのみです。

(9)式を逆フーリエ変換する。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& e^{-a\left|x\right|}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2a}{a^2+{\omega }^2}}{e}^{i\omega x}d\omega \end{array}$$

分母が9、積分関数にexp項が無いことから、$a=3,x=0$を代入。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& 1={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3}{9+{\omega }^2}}d\omega \end{array}$$

よって、求める積分値は

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{3}{9+x^2}}dx=\pi \end{array}$$

最後に

フーリエ変換の式が与えられたときは、与えられた関数が奇関数、偶関数の性質を持つか調べましょう。うまく行けば、本記事のように計算が楽になります。

後半の積分値の算出については、$x$だけでなく、$a$も代入する必要があります。このように、複数のパラメータをいじる必要もあることを覚えておくと良いかもしれません。