【古典制御】二次遅れ要素と出力波形

2次遅れ要素とは

$G\left(s\right)={\displaystyle \frac{K}{s^2+as+b}}$など、分母のsの次数が2次で表される伝達関数のことを言います。

一般的に、システムの伝達関数は下記の形で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& G(s)={\displaystyle \frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}}\end{array}$$

$m=0,n=1$のとき、$G\left(s\right)={\displaystyle \frac{b_m}{a_{n-1}s+a_n}}$形になり、分母にsの次数が1残ります。このときは１次遅れ要素になります。

「一次遅れ」は-90°位相が遅れることを言います。例えば、上記の伝達関数を$s\to j\omega$の周波数領域に置き換えると、下記になります。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& G\left(j\omega \right)={\displaystyle \frac{b_m}{a_{n-1}j\omega +a_n}}\end{array}$$

$\omega \to \infty$の極限を考えると、虚数項が支配的となり、位相が-90°遅れます。これを１次遅れ要素と言います。

この応用で、sの項が2次の時は、位相が-180°遅れます。これを1次の伝達関数に対し2倍位相が遅れますので、2次遅れ要素と言うわけですね。

他、$G\left(s\right)={\displaystyle \frac{b_{m-1}s+b_m}{a_n}}$のときは、1次進み要素になります。位相が90°進みます。

減衰率と固有周波数

2次遅れ要素が

$$\begin{array}{}\text{(3)}& G\left(s\right)={\displaystyle \frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}\end{array}$$

で表されるとき、$\xi$を減衰率。${\omega }_n$を固有周波数と言います。

減衰率は、入力に対する応答の制動の程度を表します。例として、下記のように、ステップ関数を入力したときの過渡応答を考えます。

簡単のために、ステップ関数で説明しましたが、問のように正弦波を入力したときは、下記のように伝達関数を推測します。

出力に対する入力の比→減衰率、入力に対する出力の位相遅れ→固有周波数

本問を解くうえでは、上記の知識が非常に重要です。結論、これを覚えているだけで解けます。

解答例

(1)前半 RLC直列回路の伝達関数

回路方程式は、以下のようになる。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{v}_i(t)\left(t\right)=L{\displaystyle \frac{di}{dt}}+Ri+{\displaystyle \frac{1}{C}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}i\left(t\right)dt\\ v_o(t)={\displaystyle \frac{1}{C}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}i\left(t\right)dt\end{array}\end{array}$$

これをラプラス変換し、以下の式を得る。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}V\left(s\right)=LsI\left(s\right)+RI\left(s\right)+{\displaystyle \frac{I\left(s\right)}{Cs}}\\ V_0\left(s\right)={\displaystyle \frac{I\left(s\right)}{Cs}}\end{array}\end{array}$$

以上より、伝達関数は下記のように求められる。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}G(s)& ={\displaystyle \frac{V_o(s)}{V_i(s)}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{Cs}}}{Ls+R+{\displaystyle \frac{1}{Cs}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{LC{s}^2+RCs+1}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{LC}}}{s^2+{\displaystyle \frac{R}{L}}s+{\displaystyle \frac{1}{LC}}}}\end{array}\end{array}$$

(1)後半 伝達関数の減衰率、固有周波数

(3)式と(6)式の結果を比較して

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\omega }_n^2={\displaystyle \frac{1}{LC}},2\xi {\omega }_n={\displaystyle \frac{R}{L}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\omega }_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}},\xi ={\displaystyle \frac{R}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{C}{L}}}\end{array}$$

(2)与えられた波形からの伝達関数の推測

ゲインKを設定し、伝達関数を下記のように置く。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& G\left(s\right)={\displaystyle \frac{K{\omega }_n^2}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}\end{array}$$

ステップ入力に対して十分時間が経った時の出力は2なので、最終値の定理より

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}y\left(t\right)& =\underset{s\to 0}{lim}s{\displaystyle \frac{K{\omega }_n^2}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}{\displaystyle \frac{1}{s}}\\ K& =2\end{array}\end{array}$$

また、与えられたグラフは入力に対し、出力が-90°=-π/2の位相差で追従する。

与えられた入力が$\sin (3t)$なので、$s=j\omega$に対し、$s=j3$

このとき、伝達関数は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\displaystyle \frac{2w_n^2}{-9w^2+j2\xi \omega {\omega }_{n}w+{\omega }_n^2}}\end{array}$$

-π/2位相差が発生するので、分母の実部は0になる。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& 9-{\omega }^2=0\iff {\omega }_n=3\end{array}$$

出力波は、出力波に対し2倍になっているので

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \xi =1/2=0.5\end{array}$$

以上より、求める伝達関数は

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}G\left(s\right)& ={\displaystyle \frac{2\cdot 9}{s^2+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3s+9}}\\ & ={\displaystyle \frac{18}{s^2+3s+9}}\end{array}\end{array}$$

最後に

与えられた波形から伝達関数を推測する問題は、院試でよく出題されます。(阪大、九大に多い)

本問で基本的な考え方を示しました。是非、他の波形でも練習してみることをオススメします。