以下の
工学系の数学解析 大阪大学出版会 P205 4.(1) より引用型 1階線形連立微分方程式を解け。
はじめに
こちらの問題、すぐに解き終わると思いきや一癖あります。
仮に、
この時は、以下の手順で比較的楽に解を求めることができます。
の固有値 を求める の固有ベクトル を求める で一般解 を得る。
しかし、本問はこれだけでは終わりません。
そして、ネットを見ていると解説サイトも少ないように感じます。
そこで、本記事では、
問題は引用元の参考書から抜粋しましたが、答えは略解しか無かったため、途中過程の埋め合わせができればと思います。
本記事で覚えたい解き方
本問は、以下の手順で解くことができます。
の固有ベクトル を求める- 行列
= の逆行列 を求める。 を計算し、結果を積分。 とする。 より、一般解 が求まる。
ただし、
上記の解の求め方は、定数変化法に基づいているようです。定数変化法の詳しい説明については、別サイトをご覧ください。(1変数微分方程式の場合ならば、説明しているサイト様が他にいらっしゃるはず。)
上記の手順が文字ばかりの説明になってしまい、恐縮です。
まずは、下記に解答例を記載しますので、それを一読した後こちらに戻ってくると理解が進むかもしれません。
解答例
まず、
(i)
(ii)
よって、
これの逆行列は、
これを積分することで、
を得る。(ただし、
求める解
最後に
本問のような微分方程式は、制御工学(現代制御)の状態方程式と同じ型になっています。解き方を覚えておくと、現代制御で同様の問題が出題された時の助けになるかもしれません。
参考文献
工学系の数学解析 大阪大学出版会 八木 厚志(著) 森田 浩(著) P203