フーリエ級数展開、フーリエ変換を利用した無限級数和、広義積分

【問1】$f(x)=\cos (ax)$のフーリエ級数展開を利用し、以下の無限級数和を求めよ。
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-1}\end{array}$$

【問2】式(2)のフーリエ変換の結果を利用し、式(3)の積分値を求めよ。
$$\begin{array}{}\text{(2)}& f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1(-2\le x\le 0)\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}x+1(0\le x\le 2)\end{array}\text{(3)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^{2}dx\end{array}$$
ただし、以下の公式を利用して良い。
$$\begin{array}{}\text{(4)}& F\left(\omega \right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)e^{-j\omega x}dx\text{(5)}& f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\omega \right)e^{j\omega x}d\omega \end{array}$$

はじめに

与えられた関数のフーリエ級数展開を求め、その結果を利用し、ある無限級数の和を求めるパターンの問題は院試によく出ます。

フーリエ変換、ラプラス変換の場合でも同様の出題がされることがありますが、それらのパターンは後日紹介します。

解法の定石手段

どのような級数展開、変換方法でも、以下の操作を行うことで求めたい値が出てくることが多いです。

級数展開(変換)後の式に対し、ある値を代入することで、求めたい式の形に近づける。

解答例(問1 フーリエ級数展開)

まず、フーリエ級数展開をします。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{a}_0& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos \left(ax\right)dx\\ & =\frac{2}{\pi a}{[\sin \left(ax\right)]}_0^{\pi }\\ & =\frac{2\sin \left(a\pi \right)}{\pi a}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos \left(ax\right)\cos \left(nx\right)dx\\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(\cos (a+n)x+\cos (a-n)x)dx\\ & =\frac{1}{\pi }({\left[\frac{\sin (a+n)x}{a+n}\right]}_0^{\pi }+{\left[\frac{\sin (a-n)x}{a-n}\right]}_0^{\pi })\\ & =\frac{1}{\pi }(\frac{\sin (a+n)\pi }{a+n}+\frac{\sin (a-n)\pi }{a-n})\end{array}\end{array}$$

加法定理より

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}\sin (a+n)x& =\sin a\pi \cos n\pi +\cos a\pi \sin n\pi \\ & =\sin a\pi (-1{)}^n\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}\sin (a-n)\pi & =\sin a\pi \cos n\pi -\cos a\pi \sin n\pi \\ & =\sin a\pi {(-1)}^n\end{array}\end{array}$$

の関係があるので、$a_n$は

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{1}{\pi }\left(\frac{\sin a\pi \cdot (-1)}{a+n}\frac{n}{1}\frac{\sin a\pi \cdot {(-1)}^n}{a-n}\right)\\ & =\frac{1}{\pi }\frac{2a\sin a\pi }{a^2-n^2}{(-1)}^n\end{array}\end{array}$$

と書けます。

$f(x)=\cos (ax)$は奇関数のため、$b_n=0$

これより、$f(x)$のフーリエ級数展開は、

$f(x)=\frac{\sin a\pi }{\pi a}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\sin a\pi }{\pi (a^2-n^2)}{(-1)}^n\cos \left(nx\right)$

と表すことができます。

式(1)から、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-1}(2)$に近づけるためには、どのような値を代入すれば良いか考えます。

値を代入し、求めたい無限級数和に近づける

まず、$\sum$を持っている第2項に注目します。

かっこ内の分母$(a^2-n^2)$を、$(4n^2-1)$に近づけるための数値の代入を考えます。

nは(2)式にも出てきますので、何か値を代入するには不適当です。

よって、aに何かの値を代入することを考えます。

$a=1/2$を代入し、分数を整理すれば、$1-4n^2$を得られ、あとは符号の整理で$4n^2-1$になることが分かります。

次に、元の関数$f(x)=\cos (ax)$に注目します。

(2)式には$\cos$項が無いことから、こちらにも特殊な値を代入し、別の表現にすることを考えます。

$a=1/2$が決定していることから、$\cos (\frac{x}{2})$を考えます。

$x=\pi$を代入することで、上記の式は =0となることが分かります。

また、(1)式の第2項は、$\cos (nx)=(-1{)}^n$になるため

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}0=\frac{2}{\pi }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{\pi (1-4n^2)}\end{array}\end{array}$$

となります。

あとは、これを整理することで

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4n^2-1)}=\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

を求めることができました。(解)

解答例(問2 フーリエ変換)

基本的な方針は、問1と変わりません。まず、関数f(x)をフーリエ変換します。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& F\left(\omega \right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-2}^0({\displaystyle \frac{1}{2}}x+1)dx+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_0^2(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1)dx\end{array}$$

$f(-x)=f(x)$ より、$f(x)$は偶関数だから、$\exp (i\omega x)$項は、cos成分のみ考えれば良い。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& F\left(\omega \right)& ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}2{\int }_0^2({\displaystyle \frac{1}{2}}x+1)\cos \omega xdx\text{(15)}& & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_0^2(-x\cos \omega x+2\cos \omega x)dx\end{array}$$

部分積分を用いて計算を進めていくと

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \begin{array}{rl}(7)& ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{[-x{\displaystyle \frac{\sin \omega x}{\omega }}]}^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_0^2{\displaystyle \frac{\sin \omega x}{\omega }}dx+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}2{\int }_0^2\cos \omega xdx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}-2-{\displaystyle \frac{\sin 2\omega }{\omega }}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}{[\cos \omega x]}_0^2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}2{\displaystyle \frac{{\sin }^2\omega }{\omega }}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^2}}(\cos 2\omega -1)\\ & ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2\pi }}}{\displaystyle \frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}}\end{array}\end{array}$$

以上のフーリエ変換結果が得られた。これをフーリエ逆変換すると

$$\begin{array}{}\text{(17)}& f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2}}{e}^{i\omega x}d\omega \end{array}$$になる。

値を代入し、求めたい広義積分値に近づける

これに、$x=0$を代入すると、$f(0)=1$なので

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{\sin \omega }{\omega }}\right)}^{2}d\omega =1\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{\sin \omega }{\omega }}\right)}^{2}d\omega =\pi \end{array}\end{array}$$

$\omega$を$x$に置き換えることで、求める積分結果は$\pi$であることが分かった。

最後に

このタイプの問題は、基本的に慣れだと考えています。
大学受験でも、数Ⅲの範囲の問題を解くときは、複雑な式変形の練習を沢山したと思います。
今後、類題を紹介していく予定ですので、是非ともパズル感覚で解いて下さると幸いです。

参考文献

電子情報系の応用数学：田中 和之(著) 林 正彦(著) 海老澤 丕道(著) P24