【分布定数回路】スミスチャートを利用した問題

はじめに

スミスチャートを利用し、分布定数回路の問題を解きます。以前までの記事は手計算で解いていきましたが、今回は図解的に解きます。

本記事で覚えたいこと

スミスチャートとは

反射係数の式を利用し、ある位置における駆動点インピーダンスを複雑な計算無しで求められるよう図式化したものです。反射係数について、以前の記事でお話ししたように、下記の関係があります。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\Gamma }={\displaystyle \frac{Z_x-Z_0}{Z_x+Z_0}}={\displaystyle \frac{\frac{Z_x}{Z_0}-1}{\frac{Z_x}{Z_0}+1}}={\displaystyle \frac{Z^{\prime }-1}{Z^{\prime }+1}}\end{array}$$

$Z_x$は、駆動点インピーダンスです。$Z_0$は固定のため、反射係数の絶対値は最大1であることがわかります。

変数の個数の関係により、反射係数が分かれば、$Z_x$も分かります。これより、取りうる全てのインピーダンスを反射係数に変換して、単位円内に表示したものになります。

実際に問題で解くうえでは、$Z_x$を$Z_0$で割った規格化インピーダンス$Z^{\prime }$を使用します。

反射係数の極座標表示$\mathrm{\Gamma }=|\mathrm{\Gamma }|e^{j\theta }$を考えると、$\mathrm{\Gamma }=0$が単位円の中心。$|\mathrm{\Gamma }|=1$が外周円になります。

横軸が実数成分、縦軸が虚数成分です。スミスチャートの右側の実軸との交点が定在波比にあたります。

スミスチャートの1周分は半波長分です。理由は、入射波と反射波の位相差によります。入射波の位相をaとすると、反射波の位相は-aです。入射波と反射波の合成波を考えると、入射波の位相が180度になれば、反射波の分と合わせて全体360度が取れます。

定在波も上記のような振る舞いになっています。腹と腹の間隔は半波長です。

５．については、(2),(3)で用います。

解答例

(1)受電端の反射係数

まず、規格化インピーダンスは

$$\begin{array}{}\text{(2)}& Z_L^{\prime }={\displaystyle \frac{100-j100}{50}}=2-j2\end{array}$$

であるので、スミスチャートの(2,-j2)に対応する軌跡をプロットすると以下のようになる。

青点が交点であり、これの半径は0.62、中心と交点の2点を結ぶ線に対応する角度は-30度

よって求める反射係数は$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\mathrm{\Gamma }}_0=0.62\mathrm{\angle }-30\end{array}$$

(2)$l=1.25[m]$の位置における反射係数${\mathrm{\Gamma }}_l$と駆動点インピーダンス$Z_l$

$\lambda =2[m]$より、半波長は1m。これでスミスチャート1周分(360度)に対応する。

$l=1.25[m]$のとき、1周と0.25周。(1)で求めたインピーダンスは出力端であるので、入力端方向へ考える。青点から90度時計回りに動かした点を考えればよい。

半径は変わらないので、反射係数は$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\mathrm{\Gamma }}_l=0.62\mathrm{\angle }-120\end{array}$$

青点に対応する規格化インピーダンスは、$$\begin{array}{}\text{(5)}& Z_{in}^{\prime }=0.35-j0.55\end{array}$$

これに、特性インピーダンス$50[\mathrm{\Omega }]$をかけると、求める駆動点インピーダンスは

$$\begin{array}{}\text{(6)}& Z_l=50(0.35-j0.55)\end{array}$$

(3)$Z_L$の値

$l=1.1[m]$で、入力端⇒出力端方向で考えるので、1周と0.1回転=36度反時計回りに回転した点を考えれば良い。

よって、考えられるインピーダンスは、下記2通り

$$\begin{array}{}\text{(7)}& Z_L=1.7+j1.2,0.42-j0.22\end{array}$$

(4)受電端を短絡したときの長さ$l$

短絡したとき、出力端のインピーダンスは$0[\mathrm{\Omega }]$

そこから、長さ$l$分だけ離れるごとに位相差が付いていく。

純虚数成分になるとき、90度、270度になると考えられるので、考えられる$l$は

$l=0.25n,0.75n[m]$ (n:自然数)

補足(定在波法)

本問のように、反射係数が分かれば、出力端に接続するインピーダンス$Z_L$の値が分かります。

スミスチャートで図式的に解く方法を紹介しましたが、定在波法なる方法もあります。

反射係数の式(1)を変形し、下記のように$Z_L$を求められます。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& Z_L=Z_0{\displaystyle \frac{1-j\mathrm{\Gamma }\tan \left({\displaystyle \frac{2\pi l_{min}}{\lambda }}\right)}{\mathrm{\Gamma }-j\tan \left({\displaystyle \frac{2\pi l_{min}}{\lambda }}\right)}}\end{array}$$

なお、$l_{min}$は、出力端から腹までの最小距離です。

実験的に$l_{min}$が分かれば、後は回路の条件、波長の長さから$Z_L$が求まります。

最後に

本問では、今までの問題と異なる解き方をしました。別の切り口で考えることで、分布定数回路に対する理解が深まると幸いです。

参考文献

アンテナ工学ハンドブック：電子情報通信学会 P53

電波工学：長谷川望(著) P11