【制御工学】位相進み補償の考え方、原理と例題

位相進み補償とは

ゲイン交差周波数付近の位相を進めて、位相余裕を増やすことを言います。

以前の記事で位相余裕の考え方について説明しました。

開ループ伝達関数$G(j\omega )$のゲイン[dB]が0になるときのゲイン交差周波数${\omega }_m$に対する位相が、-180度から離れている程度を言います。

実際、制御設計を進めていると、与えられた伝達関数の位相余裕がイマイチである場合があります。

例えば、ある伝達関数のゲイン交差周波数に対する位相が-180度の時、位相余裕は0になります。

少しでも外乱を受けると、位相が-180度以上になりたちまち発散します。

こういった事象を防ぐため、システムにある程度の位相余裕を持たせる必要があります。

では、どうすれば良いのか？答えは、図2のように位相進み要素をシステムに組み込めば良いです。

システムの位相余裕が大きくなり、安定性が改善します。

解答例

(1)ゲイン交差周波数とその時の位相余裕

ゲイン交差周波数

伝達関数$G(s)$を周波数領域$G(j\omega )$に落とす。

$|G(j\omega )|=1$のとき、ゲイン$20\log |G(j\omega )|=0$となり、これを与える$omega$がゲイン交差周波数${\omega }_m$である。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}G(j\omega )& ={\displaystyle \frac{20}{j\omega (-{\omega }^2+4j\omega +5)}}\\ & ={\displaystyle \frac{20}{-4{\omega }^2+j\omega (5-{\omega }^2)}}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}|G(j\omega )|={\displaystyle \frac{20}{\sqrt{16{\omega }^4+{\omega }^2(5-{\omega }^2)}}}=1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}20=\sqrt{16{\omega }^4+{\omega }^2(5-{\omega }^2)}\end{array}\end{array}$$

これを解くと、求めるゲイン交差周波数は、${\omega }_m=\sqrt{5}$

位相余裕

${\omega }_m=\sqrt{5}$を$G(j\omega )$に代入すると、(1)式より

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}G(j{\omega }_m)=-1\end{array}\end{array}$$

よって、この時の位相は、$\mathrm{\angle }G(j{\omega }_m)=-\pi$

求める位相余裕は、$PM=\pi +\mathrm{\angle }G(j{\omega }_m)=0$

以上より、システムとして安定限界であることが分かった。

(2)位相進み補償

図2の伝達関数全体の位相特性を考える。図1に対し、$C(j\omega )$が追加されたので

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}\mathrm{\angle }G(j{\omega }_m)C(j{\omega }_m)& =\pi +\mathrm{\angle }G(j{\omega }_m)+\mathrm{\angle }C(j{\omega }_m)\\ & =\mathrm{\angle }C(j{\omega }_m)\\ & ={\tan }^{-1}({\omega }_{m}cT)-{\tan }^{-1}({\omega }_{m}T)\end{array}\end{array}$$

${\omega }_m={\displaystyle \frac{1}{T\sqrt{c}}}$なので、

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}(5)& ={\tan }^{-1}(\sqrt{c})-{\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{c}}}\right)\end{array}\end{array}$$

三角関数の公式

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}\tan (a+b)={\displaystyle \frac{\tan (a)-\tan (b)}{1+\tan (a)\tan (b)}}\end{array}\end{array}$$を用いて

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}(6)& ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{c}-\frac{1}{\sqrt{c}}}{1+\sqrt{c}\frac{1}{\sqrt{c}}}}\right)\\ & ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{c-1}{2\sqrt{c}}}\right)\end{array}\end{array}$$

これが位相余裕$\frac{\pi }{6}$になれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{c-1}{2\sqrt{c}}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{(10)}& {\displaystyle \frac{c-1}{2\sqrt{c}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{(11)}& c=3\end{array}$$

${\omega }_m=\sqrt{5}$のとき、ゲインが0[dB]になれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}20\log |K|+20\log |G(j{\omega }_m)|+20\log |C(j{\omega }_m)|=0\end{array}\end{array}$$

(1)より、$20\log |G(j{\omega }_m)|=0$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{rl}|C(j{\omega }_m)|& =\sqrt{{\displaystyle \frac{1+{\omega }_m^2{c}^2{T}^2}{1+{\omega }^2{T}^2}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{1+c}{1+\frac{1}{c}}}}\\ & =\sqrt{3}\end{array}\end{array}$$

だから、$K$は(13)式を相殺するように設定すればよく

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{r}K={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\end{array}\end{array}$$

補足：位相進み補償後の根軌跡について

(2)より、位相進み要素をシステムに組み込むことで、位相余裕を確保することができました。

と言うことは、伝達関数の極の実部は正から遠のいていることが考えられます。実際、根軌跡としてどのように変化しているのか、確認しましょう。

伝達関数$H(s)={\displaystyle \frac{K}{s(s+a)}}$に位相進み要素$P(s)={\displaystyle \frac{s+c}{s+b}}$ $(c<b)$を組みこんだとき、下記のようになります。

確かに、極の軌跡が正の実軸から遠ざかったことが分かりました。

※詳細な導出については、過去の記事を参照し、各自でよろしくお願いします。

最後に

位相補償に関する問題は、数々の大学の院試で出題されます。

是非、本問は解けるようになるまで繰り返してみてください。