半導体内の電気伝導(ドリフト電流、拡散電流)

電気伝導の項目

ドリフト電流と拡散電流に大別されます。

ドリフト電流は、半導体内の電場によって流れる電流です。

拡散電流は、半導体内の電子の濃度勾配によって流れる電流です。

下記にて、詳しく解説していきます。

ドリフト電流の特性

電子のドリフト移動度を${\mu }_n$、電場を$E$とすると、電子の平均速度$v_d$は下記の式で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& v_d=-{\mu }_{n}E\end{array}$$

ただし、現実的には散乱が発生します。これは、結晶格子内を電子が移動する際、下記の影響により電子の速度が変化する事象です。

特に２．が重要です。これは、次節で説明します。

散乱と散乱の間の距離を平均自由行程$\lambda$、平均速度を$v$平均時間を$\tau$とすると、以下の運動方程式で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& m{\displaystyle \frac{dv}{dt}}=-eE-m{\displaystyle \frac{v}{\tau }}\end{array}$$

これをラプラス変換を利用し、解くことで以下の式を導出できます。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}msV\left(s\right)=-{\displaystyle \frac{eE}{5}}-{\displaystyle \frac{m}{\tau }}V\left(s\right)\\ V\left(s\right)={\displaystyle \frac{eE}{m}}{\displaystyle \frac{1}{s(s+{\displaystyle \frac{1}{\tau }})}}\\ v\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{e}{m}}TE(1-\exp (-\frac{t}{\tau }))\end{array}\end{array}$$

$t\to \infty$の極限を考えると、

$$\begin{array}{}\text{(4)}& v=-{\displaystyle \frac{e}{m}}\tau E\end{array}$$

これを(1)式を比較すると、電子移動度は下記の関係で表される。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mu ={\displaystyle \frac{e}{m}}\tau \end{array}$$

電流密度を$J$とすると、下記の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& J=-env=en\mu E=\sigma E\end{array}$$

ただし、$\sigma$は導電率で、下記の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sigma =en\mu \end{array}$$

電子についての関係を示してきましたが、正孔についても同じ関係式が成立します。

よって、正孔分も加味すると(7)式は下記のように表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sigma =e(n{\mu }_n+p{\mu }_p)\end{array}$$

ただし、${\mu }_n$は電子移動度、${\mu }_p$は正孔移動度です。

不純物濃度と移動度の関係

前節の説明は、散乱が理想的だった場合の話です。

実際は、半導体内の不純物の濃度によって散乱の程度も変わります。温度にもよりますが、半導体内の移動度は下記の関係になります。

低温領域では、熱の影響が小さいため、不純物から発生する電場の変化による散乱の影響を受けます。

高温領域では、熱による格子振動の散乱が支配的になります。よって、不純物による散乱はあまり関係なくなります。

拡散電流の特性

定義から、電子、正孔の拡散電流は以下の式で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \{\begin{array}{l}{J}_n=e{D}_n{\displaystyle \frac{dn}{dx}}\\ J_p=-e{D}_p{\displaystyle \frac{dp}{dx}}\end{array}\end{array}$$

ただし、$D_n$は電子の拡散係数、$D_p$は正孔の拡散係数を示します。微分項で濃度を微分していることから、拡散電流を表していることが分かります。

電子密度をマクスウェル・ボルツマン分布により、下記の式でおきます。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& n\left(x\right)=C\exp (-{\displaystyle \frac{e\bar{V}\left(x\right)}{kT}})\end{array}$$

ただし、Cは定数です。上式をxで微分すると以下の式が成立します。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\displaystyle \frac{dn}{dx}}=-{\displaystyle \frac{Ce}{kT}}\exp (-{\displaystyle \frac{eV(x)}{kT}}){\displaystyle \frac{dV(x)}{dx}}={\displaystyle \frac{e}{kT}}n(x)E\end{array}$$

熱平衡状態のときドリフト電流と拡散電流は等しいので、下記の関係が成立します。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& en(x){\mu }_{n}E=e{D}_n{\displaystyle \frac{dn}{dx}}={\displaystyle \frac{e}{kT}}n(x)E\end{array}$$

ホール効果を利用した移動度の測定

前章まで、電子の移動度について説明してきました。本節では、実験的に移動度を求める方法を説明します。

ホール効果とは

半導体に電流、磁場をかけると半導体内で電場が発生する現象です。これを利用し、半導体の物性値を計測しています。

半導体の+x方向に電流を流し、-z方向に磁場を印可する場合を考えます。

電子は-x方向に流れるため、ローレンツ力が+y方向に働きます。これにより、電子が+y方向に帯電するため、電場が+y方向に発生します。

電場により発生する電位差を$V_H$とし、ローレンツ力とクーロン力が等しいとき、下記の関係が成立します。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& evB={\displaystyle \frac{e{V}_H}{d}}\end{array}$$

左辺がローレンツ力を示し、右辺がクーロン力を示します。なお、電場は一定です。

これを簡単化すると

$$\begin{array}{}\text{(14)}& I=envwd\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& V_H={\displaystyle \frac{IB}{enW}}=R_H{\displaystyle \frac{IB}{W}}\end{array}$$

$\sigma =en\mu$であるため、結局電子移動度は下記の式で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\mu }_H={\displaystyle \frac{\sigma }{en}}\end{array}$$

最後に

院試では、本記事の導出過程を問われることがあります。文章の誘導に乗って進めることがありますので、出題意図も理解しながら解き進めるようにしましょう。

参考文献

半導体デバイス 松波 弘之 (著), 吉本 昌弘 (著) 第2章