【重積分】対称式型の領域における座標変換

実数 $(x, y)$ が以下の領域 $D_{1}, D_{2}$ を取るとき、それぞれの積分結果 $F_{1}, F_{2}$ を求めよ。
$\begin{aligned} (1) & D_{1} = {(x, y) : x \geq 0, y ≧ 0, x + y ≦ \frac{π}{2}} \\ (2) & F_{1} = 4 \iint_{D_{1}} (x - y) \exp (\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y + 1}) \\ (3) & D_{2} = {(x, y, z) : 0 ≦ x + y ≦ 2, 0 ≦ y + z ≦ 3, 0 ≦ z + x ≦ 4} \\ (4) & F_{2} = ∭_{D} d x d y d z \end{aligned}$

はじめに
極座標変換による積分
対称式型の変数変換
最後に

はじめに

重積分は、解析学を試験範囲とする大学の院試で頻出分野です。

様々な問われ方がありますが、基本的な解法として、以下の方針をまず考えます。

積分範囲を別の変数で置き換えて、手計算で積分可能な数式に変換
それぞれの積分変数の取りうる範囲を整理し、手計算で積分可能な領域を導く

今回は、前者(別の変数で置き換える方法)について取り上げます。

極座標変換による積分

最も有名な変数の変換として、 $0 ≦ x^{2} + y^{2} ≦ 1$ の領域の面積を求めるとき

$\begin{matrix} (5) & \begin{array}{r} x = r \cos θ, y = r \sin θ, (0 ≦ r ≦ 1), (0 ≦ θ ≦ 2 π) \end{array} \end{matrix}$

と極座標変換する方法があります。

ヤコビアン $J = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \cos θ & - r \sin θ \\ \sin θ & r \cos θ \end{matrix} | = r$ より

$\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} \iint_{S} d x d y = \int_{0}^{1} r d r \int_{0}^{2 π} d θ = π \end{array} \end{matrix}$

と、半径1の円の面積を求めることができました。

こちらに関しても今後詳しく扱いたいですが、今回は他の変換方法を取り上げます。

対称式型の変数変換

冒頭の問題を解く際に使用する変数変換方法です。

対称式のブロック毎に一つの変数で置き換えると、積分しやすい形に変換できることが多いです。

有名問題ではありますが、ネット検索してもあまりヒットしないように感じます。

ご存じではない方は、本問を通して、積分計算する際の引き出しが増えると幸いです。

解答例 $F_{1}$

$x = \frac{u + v}{2}, y = \frac{u - v}{2}$ より、ヤコビアン $J$ は

$\begin{aligned} (7) & J & = | \begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial n} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | \\ (8) & = | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{array} | \\ (9) & = \frac{1}{2} \end{aligned}$

積分範囲は、以下のように書き直せる。

$x ≧ 0, y ≧ 0$ より、 $0 ≦ x + y ≦ \frac{π}{2} \Leftrightarrow 0 ≦ u ≦ \frac{π}{2}$

uを固定すると、 $x = \frac{u + v}{2}, y = \frac{u - v}{2}$ と $x ≧ 0, y ≧ 0$ より
$x = 0$ のとき $v = - u$ 、 $y = 0$ のとき $v = u$ で、 $v$ の取りうる値の上下限が求められる。 $- u ≦ v ≦ u$

$u$ を先に積分するとき、 $u = x + y$ より、 $x = 0$ のとき、 $- u ≦ y ≦ u$

これより、関数 $F$ は以下のように計算できる。

$\begin{aligned} (10) & F & = 4 \iint_{D} (x - y) \exp (\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y + 1}) \\ (11) & = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} d u \int_{- u}^{u} v \exp (\frac{v^{2}}{u + 1}) \frac{1}{2} d v \\ (12) & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[\exp \frac{v^{2}}{u + 1}]}_{- u}^{u} d u \\ (13) & = 0 \end{aligned}$

解答例 $F_{2}$

3変数でも、前章で説明した方針は変わりません。

$x + y = s, y + z = t, z + x = u$ とおくと、以下の積分領域に変換できる

$\begin{matrix} (14) & \begin{array}{r} \begin{matrix} D = {(s, t, u) : 0 ≦ s ≦ 2, 0 ≦ t ≦ 3, 0 ≦ u ≦ 4} \end{matrix} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} (15) & {\begin{cases} x = \frac{s - t + u}{2} \\ y = \frac{s + t - u}{2} \\ z = \frac{- s + t + u}{2} \end{cases} \end{array}$

と整理でき

ヤコビアン $\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} J = | \begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \end{array} | = | \begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} | & = \frac{1}{2} \end{aligned} \end{matrix}$ であるので

以下の積分領域に変換できる

$\begin{matrix} (17) & \begin{array}{r} V = ∭_{D} d x d y d z = \int_{0}^{2} d s \int_{0}^{3} d t \int_{0}^{4} d u \cdot \frac{1}{2} \end{array} \end{matrix}$