微小ダイポールアンテナと遠方放射界の計算問題

ダイポールアンテナとは

直線状の導体から構成され、交流電流を流して周囲に電磁波を発生させる電気機器になります。問題で与えた図が特に分かりやすいです。

電磁波を生成すると、遠方にある物質に対し誘導電流を発生させ、電力、情報のやり取りをすることができます。この操作に対し、ダイポールアンテナでは以下の利点があります。

この利点から、ラジオのアンテナ、無線機でよく使用されています。

本記事では、実際に問題を解いてみることで、遠方の点に対し電磁波が及ぼす作用を見ていきます。

解答例

ベクトルポテンシャルを求め、その回転を取って磁場を算出します。

全体方針

まず、直交座標のベクトルポテンシャル$A_x,A_y,A_z$を考えて、そこから極座標$A_r,A_{theta},A_{\varphi }$に変換することを考えます。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{l}{A}_r=A_z\cos \theta \\ A_{\theta }=-A_z\sin \theta \\ A_{\varphi }=0\end{array}\end{array}$$

の関係で変換することができます。

そこから、ベクトルポテンシャルと磁場の式

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}\mathit{H}={\displaystyle \frac{1}{{\mu }_o}}\mathrm{\Delta }\times \mathit{A}\end{array}\end{array}$$

及び、マクスウェル方程式(電磁誘導の法則)から

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}\mathrm{\Delta }\times \mathit{H}=j\omega {\epsilon }_o\mathit{E}\end{array}\end{array}$$

の関係を用いて各々の具体的な式を算出。r→∞の近似を考えて放射界を考えます。

ベクトルポテンシャルについて

電流ベクトルはz方向のみ向いているため

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{A}_x=0\\ A_y=0\end{array}\end{array}$$

z成分については、ベクトルポテンシャルの式を使えば良い。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{r}A={\displaystyle \frac{{\mu }_{o}Idl}{4\pi r}}\end{array}\end{array}$$

について、$r$は$l$に対して十分に大きいので、一定値を乗算すれば良く

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}{A}_z={\displaystyle \frac{{\mu }_o{I}_{o}l}{4\pi r}}{e}^{-jkr}\end{array}\end{array}$$

(2)式より、磁場$\mathit{H}$を求める。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}\mathrm{\nabla }\times A=\left|\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\hat{r}}{r^2\sin \theta }}& {\displaystyle \frac{a}{r\sin \theta }}& {\displaystyle \frac{\varphi }{r}}\\ {\displaystyle \frac{\partial }{\partial r}}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial \theta }}& {\displaystyle \frac{\partial }{d\varphi }}\\ A_r& A\cdot & A\varphi \end{array}\right|\end{array}\end{array}$$

で、$A_{\varphi }=0$なので

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{l}{H}_r=0\\ H_{\theta }=0\\ H_{\varphi }={\displaystyle \frac{I_{o}l}{4\pi }}(j{\displaystyle \frac{k}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}})\sin \theta e^{-jkr}\end{array}\end{array}$$

電場については、(3)式により

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \{\begin{array}{l}{E}_r={\displaystyle \frac{Il{Z}_o}{2\pi }}({\displaystyle \frac{1}{r^2}}-j{\displaystyle \frac{1}{k{r}^3}})\cos \theta e^{-jkr}\\ E_{\theta }=({\displaystyle \frac{jk}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}-j{\displaystyle \frac{1}{k{r}^3}})\sin \theta e^{-jkr}\\ E_{\varphi }=0\end{array}\end{array}$$

なお、$Z$は真空中の固有インピーダンス$Z=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\mu }_o}{{\epsilon }_o}}}$である。

(2)放射界の算出

(8)(9)式において、r→∞の極限を考える。

rが-2乗以上の項は、-1乗の項に対して十分小さいとみなせるため、下記になる。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}{H}_r=0\\ H_{\theta }=0\\ H_{\varphi }={\displaystyle \frac{I_{o}l}{4\pi }}\left(j{\displaystyle \frac{k}{r}}\right)\sin \theta e^{-jkr}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \{\begin{array}{l}{E}_r=0\\ E_{\theta }=\left({\displaystyle \frac{jk}{r}}\right)\sin \theta e^{-jkr}\\ E_{\varphi }=0\end{array}\end{array}$$

最後に

電磁ポテンシャル(ローレンツの条件)を用いて放射界を求める方法もありますが、今回は基本に忠実に解いてみました。

参考文献に、上記の方法で求める場合も記載してありますので、興味がある方は参照してみても良いかもしれません。

参考文献

電波工学 長谷川望 P62-71 (コロナ社)