気体分子運動論によるポアソンの式の導出問題

はじめに

気体分子運動論によるポアソンの式の導出は、大学受験での物理でも出題されることがあります。問で与えたように、ある一定の容器を考えて、そこに分子が衝突するときの動きを考察します。

院試でも上記の動作を前提として問われることが基本ですが、微分方程式を解く部分が学部入試問題と異なります。そこで、本記事では、院試を意識した問題設定で気体分子運動論を考察し、同式を導出してみます。

ポアソンの式とは

理想気体が存在する系において断熱変化が発生したとき、下記の関係式になる法則を表しています。

\begin{aligned}PV^{\gamma}=(一定)\end{aligned}

変化前の気体の圧力、体積をそれぞれ$P_1,V_1$、変化後を$P_2,V_2$とすると、下記の関係式が成立します。

\begin{aligned}P_1 V_1^{\gamma}=P_2 V_2 ^{\gamma}\end{aligned}

ここで、$\gamma$は気体の比熱比を表し、定積比熱$C_v$と定圧比熱$C_p$の比$\gamma=\dfrac{C_p}{C_v}$になります。本問だけでなく、ブレイトンサイクルを初めとするT-S線図、P-V線図の問題を解く際に出てきますので覚えておきましょう。

問題を解く際の留意事項

学部入試でも院試でも、誘導が丁寧であることに変わりありません。衝突1回による分子のエネルギー変化量を求め、同じ考え方を他の分子に対しても適用し、統計的に解いていきます。力学色の強い問題ですので、不安な方は復習しておきましょう。

解答例

問1：運動エネルギーの変化量

$x=L$ の壁が $x$ 方向に速度 $u$ で動いているとする。
壁の静止系で見ると，衝突前の分子と壁の相対速度は$v_x – u$

であり，弾性衝突後は符号が反転して$-(v_x – u)$となる。

これを実験室系に戻すと，衝突後の速度は$v_x’ = – (v_x – u) + u = -v_x + 2u$

したがって，衝突前後の運動エネルギー差は
\begin{aligned}\Delta K&= \frac{1}{2}m\left(v_x’^2 – v_x^2\right) \\ &= \frac{1}{2}m\left\lbrace(-v_x+2u)^2 – v_x^2\right\rbrace\end{aligned}

$u$ の2次以上を無視すると，
\begin{aligned}\Delta K \simeq \frac{1}{2}m(-4u v_x)= -2m u v_x\end{aligned}

\begin{aligned}\boxed{\Delta K = -2m u v_x}\end{aligned}

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問2 気体分子の運動エネルギーの変化量

$x=L$ のある壁が速度 $u$ で $dL$ だけ変位するまでにかかる時間は，$dt=\frac{dL}{u}$

時間$dt$の間に、速度成分 $v_x$ をもつ分子が壁(往復長さ$2L$)に衝突する回数は$\frac{v_x}{2L} \, dt$である。

※$v_x$を$2L$で割ると、単位時間あたりの衝突回数になります。
これに$dt$をかけると、$dt$時間経過するまでの衝突回数になるわけですね。

上記より、衝突回数を$dt$を使わずに表すと
\begin{aligned}
\frac{v_x}{2L}\frac{dL}{u}
\end{aligned}

1回の衝突によるエネルギー変化が $-2muv_x$ なので，
全エネルギー変化は
\begin{aligned}
dK_x
= (-2muv_x)\times
\frac{v_x}{2L}\frac{dL}{u}
= -\frac{m v_x^2}{L}dL
\end{aligned}

\begin{aligned}
\boxed{dK_x = -\frac{m v_x^2}{L}dL}
\end{aligned}

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問3 内部エネルギーの変化量の関係

同様の議論が $y,z$ 方向についても成り立つので，1分子の全運動エネルギー変化は
\begin{aligned}
dK
= -\frac{m}{L}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)dL
\end{aligned}

分子1個の運動エネルギーは$K = \frac{m}{2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$であるから，
\begin{aligned}
dK = -\frac{2K}{L}dL
\end{aligned}

全分子について和を取ると，系全体の内部エネルギー $E$ になる。
各々の分子は、式(10)と同じ形を取るため、$K$を$E$に置き換えて
\begin{aligned}
dE = -\frac{2E}{L}dL
\end{aligned}

両辺$E$で割ると

\begin{aligned}\dfrac{dE}{E}=-\dfrac{2}{L}dL\end{aligned}

体積 $V=L^3$ を微分し、$dV=3L^{2}dL$
両辺を$V=L^{3}$で割ると、
\begin{aligned}
\frac{dV}{V} = 3\frac{dL}{L}
\quad \Rightarrow \quad
\frac{dL}{L} = \frac{1}{3}\frac{dV}{V}
\end{aligned}

(13)式を(12)式へ代入すると
\begin{aligned}
\frac{dE}{E}
= -2\frac{dL}{L}
= -\frac{2}{3}\frac{dV}{V}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\boxed{\frac{dE}{E} + \frac{2}{3}\frac{dV}{V} = 0}
\end{aligned}

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問4 ポアソンの式

単原子理想気体では$E = \frac{3}{2}PV$

これを微分すると
\begin{aligned}
\frac{dE}{E} = \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}
\end{aligned}

問3 の結果を代入すると
\begin{aligned}
\frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}\frac{2}{3}\frac{dV}{V} = 0
\end{aligned}

\begin{aligned}
\frac{dP}{P} + \frac{5}{3}\frac{dV}{V} = 0
\end{aligned}

両辺を積分して
\begin{aligned}
\ln P + \frac{5}{3}\ln V = \text{const}
\end{aligned}

\begin{aligned}
\ln\left(PV^{5/3}\right)=\text{const}
\end{aligned}

したがって
\begin{aligned}
\boxed{PV^{5/3}=\text{一定}}
\end{aligned}

最後に

相対座標の計算や、運動エネルギーを内部エネルギーに統計的に変換する作業は慣れていなければ厳しいですが、それ以外は微分方程式を解く数学的な作業に終始します。

是非、手で覚えられるくらいに導出できるようになると幸いです。