【2次形式】標準形の変換問題(領域の面積算出)

問題

対称行列\(A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)を用いて、関数\(f(x,y,z)\)を以下のように変換した。\begin{eqnarray}f(x,y,z)=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+2xy+2yz+2zx\end{eqnarray}\begin{eqnarray}f(x’,y’,z’)=2x^2+2y^{2}+5z^{2}\end{eqnarray}

(1)\(x,y,z\)の取りうる値の関係が\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)であるとき、元の関数\(f(x,y,z)\)の取りうる値の最大値、最小値を求めよ。
(2)\(x,y,z\)の取りうる領域Dが、\(D=\left\{ \left( x,y,z\right) | x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqq 1\right\}\)であるとき、元の関数\(f(x,y,z)\)が取りうる体積を求めよ。

ただし、変換行列を、\(T=\begin{pmatrix} \frac{-1}{√2} & \frac{-1}{√6} & \frac{1}{√3} \\ 0 & \frac{2}{√6} & \frac{1}{√3} \\ \frac{1}{√2} & \frac{-1}{√6} & \frac{1}{√3} \end{pmatrix}\)とする。

はじめに
本記事で覚えたいこと
解答例
最後に

はじめに

行列の2次形式に関する問題の続きです。前回は、与えられた2次形式の関数を楕円形に変換しました。

本記事では、\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)の条件の下、関数f(x,y,z)が取りうる最大、最大値について考察します。最後に、楕円形が囲む領域を関数に代入した時の面積を求めます。

本記事で覚えたいこと

座標系\((x,y,z)→(x’,y’,z’)\)の変換行列

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=T\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{pmatrix}\end{eqnarray}を用いることがキーポイントになります。

最大、最小問題

標準形に変換後の関数\(f(x’,y’,z’)\)で最大、最小を与える\((x’,y’,z’)\)を求める。
(3)式に求めた\((x’,y’,z’)\)を代入。これを解くことで、\((x,y,z)\)領域に逆変換する。

最大、最小値を求めやすい座標系\((x’,y’,z’)\)で値を求め、それを変換行列を用いて元の座標系に戻す方針で答えを求めます。

領域の面積(体積)を求める問題

楕円体の体積の公式(\(V=\frac{4}{3}πabc)\)を用いて、座標変換後の関数\(f(x’,y’,z’)\)の体積を求める
座標変換前後の基本ベクトル(x,x’,y,y’,z,z’)で、長さが変わっているものがあるかチェック。
正規直交基底の場合は基本ベクトルの長さが変わらないので、１．の算出結果が座標変換前の関数に対しても使える。

１．の公式を知っているかが、この問題を解く可能性を左右します。

媒介変数表示などを使えば知っていなくても解けるはずですが、当然計算量が多くなります。

そこで、変換行列を使用すると楕円になることが予想できます。これを利用することで、楽に計算することができます。

解答例

(1)最大、最小値問題

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)が、座標変換後の\((x’,y’,z’)\)で取りうる値の関係式を考える。

問題で与えられた変換行列\(T\)より、以下の関係式を導ける。

\begin{cases}x=-\dfrac{x’}{\sqrt{2}}-\dfrac{y’}{\sqrt{6}}+\dfrac{z’}{\sqrt{3}}\\ y=0+\dfrac{2}{\sqrt{6}}y’+\dfrac{z’}{\sqrt{3}}\\ z=\dfrac{x’}{\sqrt{2}}-\dfrac{y’}{\sqrt{6}}+\dfrac{z’}{\sqrt{3}}\end{cases}

これを\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)に代入すると、\(x’^{2}+y^{2}+z’^{2}=1\)となり、元の関係式と同じになる。

※正規直交基底なので、変換後も同じ関係式になります。不安ならば、検算してみると良いかもしれません。

\(x’^{2}+y’^{2}=1-z’^{2}を\)(2)式に代入すると、以下のようになる。

\begin{align}(2)&=2(1-z’^{2})+5z’^{2} \\ &= 2+3z’^{2} \end{align}

最大、最小を求めるには、\(z’\)の取りうる値に注意すれば良く

\((x’,y’,z’)=(0,0,±1) ⇔ (x,y,z)=(±\frac{1}{√3},±\frac{1}{√3},±\frac{1}{√3})\)のとき、最大値5

\((x’,y’,z’)=(\cos\theta,\sin\theta,0) ⇔ x+y+z=0 )\)のとき、最小値2

※x+y+z=0の関係を導くには、(x’,y’,z’)それぞれの値を(4)式に代入すればよいです。

(2)面積(体積の計算問題)

前節により、\(x^{2}+y^{2}+z^{2}≦1\)を座標変換すると、同じく\(x’^{2}+y’^{2}+z^{2}≦1\)になることが分かる。よって、座標変換後の変数\(x’,y’,z’\)の取りうる領域は、変換前と変わらない。

また、変換前後の基本ベクトル(x,x’,y,y’,z,z’)は両方正規直交基底であるため、変換後の関数で求めた体積は、変換前の関数の体積と一致する。

変換後の関数は\(f(x’,y’,z’)=2x^2+2y^{2}+5z^{2}\)であるため、これを楕円体の公式に適用できる形に変形する。

\(\dfrac{x^{2}}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}}+\dfrac{y^{2}}{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}}+\dfrac{z^{2}}{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}\right) ^{2}}\leqq 1 \)で表せるため、求める体積\(V\)は

\begin{align}V=\dfrac{4}{3} \pi \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2 \pi}{3√5}\end{align}

ただし、楕円体の取る範囲は、\((\frac{-1}{√2}≦x’≦\frac{-1}{√2}),(\frac{-1}{√2}≦y’≦\frac{-1}{√2}),(\frac{-1}{√5}≦z’≦\frac{-1}{√5}\))

すなわち、\(x’^{2}+y’^{2}+z’^{2}≦1\)の取りうる範囲\(\ (-1≦x≦1),(-1≦y≦1),(-1≦z≦1) \)の範囲内である。