電磁波(TE波、TM波)の反射係数、透過係数とスネルの法則、ブリュースター角の導出

はじめに

本問は、計算がしんどいです。電磁波の入射方向、電場の向き、磁場の向きにそれぞれ気を付けて立式していかないと、たちまち計算ミスします。

電磁波の式の見方については、過去の記事で紹介しました。本問では、これを参考にしながら解いていきます。

どちらかと言うと、理学部の院試に出てきやすい問題です。関係者は、本問が参考になると幸いです。

他サイトでは、途中の計算過程を端折りがちですが、本記事では省略することなく記載していきます。

だいぶ長文になりましたので、必要な部分だけ確認することをオススメします。

本記事で覚えたいこと

例えばですが、TE波の入射波の電場成分は、図1よりz成分しかないです。このため、下記の式で表すことができます。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E_z^i=E_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_i))\end{array}$$

$\exp$項以前は、電場の成分で符号を合わせます。図1より電場は+z方向を向いているので負は付きません。

$\exp$項内部は、電磁波の進行方向を示します。xy平面上で斜め入射しているため、成分分解して+y方向は$y\sin \theta$、+x方向は$x\cos \theta$で表すことができます。

仮に反射波だったとすると、図1より、電磁波の進行方向(x成分)は負を向いています。よって、$\exp$項内部は、$(y\sin {\theta }_i-x\cos {\theta }_i)$と、x成分は負になります。

入射波だけでなく反射波、透過波についても同様に立式します。その後、境界条件を取れば透過係数、反射係数を求めることができます。

解答例

(1)前半 TE波の性質 (スネルの法則)

与えられた図から、入射波は以下の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}{E}_z^i=E_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_i))\\ H_x^i=H_i\sin {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_2))\\ H_y^i=-H_i\cos {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_2))\end{array}\end{array}$$

反射波についても、下記の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{\begin{array}{l}{E}_z^r=E_r\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_r+x\cos {\theta }_r))\\ H_x^i=H_i\sin {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_2))\\ H_y^i=-H_i\cos {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_2))\end{array}\end{array}$$

透過波についても、下記の式で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{E}_z^t=E_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_t))\\ H_x^t=H_t\sin {\theta }_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_2))\\ H_y^t=-H_t\cos {\theta }_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_t))\end{array}\end{array}$$

境界条件により、$x=0$で電場$E$と磁場$H$の接線成分は連続。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{E}_y^i+E_y^r=E_y^t\\ H_z^i+H_z^r=H_z^t\end{array}\end{array}$$だから、()～()にx=0を代入して

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{l}{E}_i\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_i)+E_r\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_r)=E_t\exp (-j{k}_{2}y\sin {\theta }_t)\\ -H_i\cos {\theta }_i\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_i)+H_r\cos {\theta }_r\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_r)=-H_t\cos {\theta }_t\exp (-j{k}_{2}y\sin {\theta }_t)\end{array}\end{array}$$

任意のyに対し上記の式が成立するためには、$E$、$H$ともに$\exp$項の内部に注目し

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}{k}_{1}y\sin {\theta }_i=k_{1}y\sin {\theta }_r=k_{2}y\sin {\theta }_t\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{l}{\theta }_i={\theta }_r\\ k_1\sin {\theta }_i=k_2\sin {\theta }_t\end{array}\end{array}$$

の条件が成立する必要がある。(スネルの法則)

(1)後半 TE波の反射係数、透過係数

任意の$H$に対し、

$$\begin{array}{}\text{(9)}& E={\displaystyle \frac{H}{Z}}\end{array}$$の条件を適用する。(Zは媒質中の固有インピーダンス。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}{E}_y^i+E_y^r=E_y^t\\ {\displaystyle \frac{E_i-E_r}{Z_1}}\cos {\theta }_i={\displaystyle \frac{E_t}{Z_2}}\cos {\theta }_t\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\displaystyle \frac{E_i-E_r}{Z_1}}\cos {\theta }_i={\displaystyle \frac{E_i+E_r}{Z_2}}\cos {\theta }_t\text{(12)}& ({\displaystyle \frac{\cos {\theta }_i}{Z_1}}-{\displaystyle \frac{\cos {\theta }_t}{Z_2}})E_i=({\displaystyle \frac{\cos {\theta }_i}{Z_1}}+{\displaystyle \frac{\cos {\theta }_t}{Z_2}})E_r\text{(13)}& R_{TE}={\displaystyle \frac{E_r}{E_i}}={\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{\cos {\theta }_i}{Z_1}}-{\displaystyle \frac{\cos {\theta }_t}{Z_2}})}{({\displaystyle \frac{\cos {\theta }_i}{Z_1}}+{\displaystyle \frac{\cos {\theta }_t}{Z_2}})}}\text{(14)}& ={\displaystyle \frac{Z_2\cos \theta i-Z1\cos \theta t}{Z2\cos \theta i+Z1\cos {\theta }_t}}\end{array}$$

透過係数についても、同様にして

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\displaystyle \frac{E_i-(E_i+E_t)}{Z_1}}\cos \theta i={\displaystyle \frac{Et}{Z_2}}\cos {\theta }_t\text{(16)}& 2Z_2{E}_i\cos {\theta }_i=Z1E_t\cos {\theta }_i+Z_2{E}_t\cos {\theta }_t\text{(17)}& T_{TE}={\displaystyle \frac{E_t}{E_i}}={\displaystyle \frac{2Z_2\cos {\theta }_i}{Z2\cos {\theta }_i+Z1\cos {\theta }_t}}\end{array}$$

※反射”係数” と 透過”係数”の合計値は1になりません。だから、$T_{TE}=1-R_{TE}$と計算することなく、それぞれ定義に基づいて解答しています。(間違いやすい)

(2)前半 TM波の性質(スネルの法則)

基本的にTE波と同様にして、解くことができます。

ですので、前半は見る必要が無いかもしれません。

ただし、${\mu }_1={\mu }_2$のとき、TM波特有の現象を導くことができます。(ブリュースター角)

ページ下部にありますので、そこだけでもご覧ください。

<入射波>

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \{\begin{array}{l}{E}_x^i=-E_i\sin {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_i))\\ E_y^i=E_i\cos {\theta }_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_i))\\ H_z^i=H_i\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_i+x\cos {\theta }_i))\end{array}\end{array}$$

<反射波>

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \{\begin{array}{l}{E}_x^r=-E_r\sin {\theta }_r\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_r+x\cos {\theta }_r))\\ E_y^r=-E_r\cos {\theta }_r\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_r-x\cos {\theta }_r))\\ H_z^r=H_r\exp (-j{k}_1(y\sin {\theta }_r-x\cos {\theta }_r))\end{array}\end{array}$$

<透過波>

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \{\begin{array}{l}{E}_x^t=-E_t\sin {\theta }_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_t))\\ E_y^t=E_t\cos {\theta }_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_t))\\ H_z^t=H_t\exp (-j{k}_2(y\sin {\theta }_t+x\cos {\theta }_t))\end{array}\end{array}$$

境界条件により、$x=0$で電場$E$と磁場$H$の接線成分は連続。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \{\begin{array}{l}{E}_i\cos {\theta }_i\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_i)-E_r\cos {\theta }_r\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_r)=E_t\cos \theta i\exp (-j{k}_{2}y\sin {\theta }_t)\\ H_i\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_i)+H_r\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_r)=H_t\exp (-j{k}_{1}y\sin {\theta }_t)\end{array}\end{array}$$

任意のyに対し上記の式が成立するためには、$E$、$H$ともに$\exp$項の内部に注目し

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \begin{array}{r}{k}_{1}y\sin {\theta }_i=k_{1}y\sin {\theta }_r=k_{2}y\sin {\theta }_t\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \{\begin{array}{l}{\theta }_i={\theta }_r\\ k_1\sin {\theta }_i=k_2\sin {\theta }_t\end{array}\end{array}$$

の条件が成立する必要がある。(スネルの法則)

TM波についても同じく証明することができました。

(2)後半 TM波の反射係数、透過係数 (ブリュースター角)

TE波と同様にして、境界条件は

$$\begin{array}{}\text{(24)}& \{\begin{array}{l}(E_i-E_r)\cos {\theta }_i=Et\cos \theta i\\ {\displaystyle \frac{E_i+E_r}{Z_1}}={\displaystyle \frac{E_t}{Z_2}}\end{array}\end{array}$$

第2式より、

$$\begin{array}{}\text{(25)}& E_t={\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1}}(E_i+E_r)\end{array}$$

これを第1式に代入して

$$\begin{array}{}\text{(26)}& (E_i-E_r)\cos {\theta }_i={\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1}}(E_i+E_r)\text{(27)}& (\cos {\theta }_i-{\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1}}\cos {\theta }_t)E_i=(\cos {\theta }_i+{\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1}}\cos {\theta }_t)E_r\text{(28)}& R_{TM}={\displaystyle \frac{E_r}{E_i}}={\displaystyle \frac{Z_1\cos {\theta }_i-Z_2\cos {\theta }_t}{Z_1\cos \theta +Z_2\cos {\theta }_t}}\end{array}$$

透過波についても同様にして、第2式から

$$\begin{array}{}\text{(29)}& E_r=-E_i+{\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}}{E}_t\end{array}$$

これを第1式に代入し

$$\begin{array}{}\text{(30)}& (E_i+E_i-{\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}}{E}_t)\cos {\theta }_i=E_t\cos {\theta }_t\text{(31)}& T_{TM}={\displaystyle \frac{E_t}{E_i}}={\displaystyle \frac{2Z_2\cos {\theta }_i}{Z_1\cos {\theta }_i+Z_2\cos {\theta }_t}}\end{array}$$

(2)最後 ブリュースター角

スネルの法則より、

$$\begin{array}{}\text{(32)}& \sin {\theta }_t={\displaystyle \frac{k_1}{k_2}}\sin {\theta }_i\end{array}$$

波数$k$は下記のように表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(33)}& k_1=\omega \sqrt{{\epsilon }_1{\mu }_1}\text{(34)}& k_2=\omega \sqrt{{\epsilon }_2{\mu }_2}\end{array}$$

${\mu }_1={\mu }_2$より、

$$\begin{array}{}\text{(35)}& {\displaystyle \frac{k_1}{k_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}}\sin {\theta }_i\end{array}$$

三角関数の定義により

$$\begin{array}{}\text{(36)}& \cos {\theta }_t=\sqrt{1-{\sin }^2{\theta }_t}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}{\sin }^2{\theta }_i}\end{array}$$

これを反射係数の式に代入し

$$\begin{array}{}\text{(37)}& R_{TM}={\displaystyle \frac{Z_1\cos {\theta }_i-Z_2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{\epsilon }{\epsilon 2}}\sin {\theta }_i}}{Z1\cos {\theta }_i+Z_2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{\epsilon 2}}\sin {\theta }_i}}}\end{array}$$

これが0になれば良いので、分子に注目し

$$\begin{array}{}\text{(38)}& Z_1^2{\cos }^2{\theta }_i=Z_2^2(1-{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}{\sin }^2{\theta }_i)\end{array}$$

$Z_1=\sqrt{{\mu }_1}{\epsilon }_1,Z_2=\sqrt{{\mu }_2}{\epsilon }_2$で、${\mu }_1={\mu }_2$

$$\begin{array}{}\text{(39)}& 1+{\tan }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}\end{array}$$

なので

$$\begin{array}{}\text{(40)}& {\displaystyle \frac{1}{\epsilon 1}}={\displaystyle \frac{1}{\epsilon 2}}(1+{\tan }^2\theta -{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{\epsilon 2}}{\tan }^2{\theta }_1)\text{(41)}& {\displaystyle \frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}{\tan }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1}}\text{(42)}& {\tan }^2{\theta }_i={\displaystyle \frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}\end{array}$$

のとき、反射係数が0になることが分かった。これをブリュースター角と言う。

最後に

計算量が非常に多いですが、やることとしてはワンパターンです。是非何度も練習して自分のものにしてください。