下図1の直流電動機において，$v_a$ は直流電源電圧，$i_a$ は電機子電流，
$r_a$ は電機子抵抗，$L_a$ は電機子インダクタンス，$e_0$ は誘導起電力である。
$I_f$ は界磁電流であり，常に一定値に保持されているものとする。
電機子反作用を無視すれば，誘導起電力 $e_0$ およびトルク $T$ は
\begin{equation}
e_0 = K_e \omega_m,
\qquad
T = K_T i_a
\end{equation}
と表すことができる。ここで $\omega_m$ は回転子の角速度である。
係数 $K_e$，$K_T$ は電動機の構造と界磁電流で決まり，
界磁電流が一定のときは定数として取り扱うことができる。
慣性モーメントを $J$，摩擦抵抗を $r_m$ とすれば，
回転子の運動方程式は
\begin{equation}
T = J\frac{d\omega_m}{dt} + r_m\omega_m
\end{equation}
で与えられる。以下の問に答えよ。
問1：電機子駆動回路の回路方程式を示せ。
問2：この直流電動機の伝達関数$G(s)=\omega_m/v_a$ を求めよ。
問3：問2で求めた伝達関数をブロック図で表せ。
問4：定常状態の角速度を求めよ。
はじめに
電気情報系の院試で制御工学が出題される際は、電気機器との融合問題を意識した問題が出てくることがあります。東大電気系、名工大の院試が最たる例です。
この場合、伝達関数を与えられて、数式的に処理するパターンではなく、運動方程式、回路方程式をラプラス変換して伝達関数を求める場合が殆どです。類題演習をしていないと、本番で面食らいがちな事項です。
そこで本記事では、冒頭の問題を紹介します。特に初見の方は、対応力の強化に繋がると幸いです。
解答例
問1：電機子の回路方程式
図の電流方向に従うと，求める回路方程式は
\begin{aligned}
v_a &= e_0 + r_a i_a + L_a\frac{di_a}{dt} \\
&= K_e\omega_m + r_a i_a + L_a\frac{di_a}{dt}
\end{aligned}
となる。
問2：伝達関数の立式
機械系の運動方程式は
\begin{equation}
J\frac{d\omega_m}{dt}+r_m\omega_m=K_Ti_a\end{equation}
である。伝達関数を求めるためにラプラス変換すると
\begin{cases}
(L_as+r_a)I_a(s)+K_e\Omega_m(s) &= V_a(s) \\
(Js+r_m)\Omega_m(s) &= K_TI_a(s).
\end{cases}
上式を整理し
\begin{equation}
\boxed{
G(s)=\frac{\Omega_m(s)}{V_a(s)}
=\frac{K_T}
{(L_as+r_a)(Js+r_m)+K_eK_T}
}
\end{equation}
である。
問3：フィードバック系のブロック図
逆起電力 $K_e\omega_m$ が電機子入力から差し引かれるため，
この系は負帰還系となる。求めるブロック図は
上記のブロック図をまとめると
であり、問2で求めた伝達関数と一致することが分かる。
問4：定常状態の角速度
定常状態では微分項がゼロなので，
\begin{cases}
V_a = K_e\omega_m+r_ai_a \\
T =r_m\omega_m=r_m\omega_o= K_Ti_a
\end{cases}
上式の第2式から
\begin{aligned}\omega_o=\dfrac{K_{T}i_a}{r_m}\end{aligned}
(7)の第1式を変形し
\begin{aligned}i_a=\dfrac{V_a-K_e\omega_o}{r_a}\end{aligned}
(9)を(8)に代入し
\begin{aligned}\omega_o=\dfrac{K_T}{r_m}\left( \dfrac{V-K_e \omega_o}{r_a}\right)\end{aligned}
上記を整理し
\begin{equation}
\boxed{
\omega_{o}
=\frac{K_TV_a}{K_eK_T+r_ar_m}
}
\end{equation}
を得る。
最後に
電気系の学生からすると、回転体の運動方程式の立式を知らない場合もあります。冒頭の問題のように注釈(誘導)が与えられていることもありますが、必ずという訳ではありません。この記事で紹介した方程式は一般教養として覚えておくと良いです。
