【電気回路】2端子対回路-Z行列の使い方を例題形式で解説

問題

下記の2端子対回路のz行列を求めよ。

(1)π型回路
(2)インピーダンスがZ1,Z2で表されるブリッジ回路
(3)(2)のブリッジ回路を2つ直列接続した回路

Z行列とは

2端子対回路における入力端および出力端の電圧V1,V2の関係をインピーダンス行列で表したものになります。入力端から流れる電流I1、出力端から流れる電流I2を変数とし、z行列を

(1)(z11z12z21z22)

とすると、2端子対回路は下記の式で表されます。

(2)(V1V2)=(z11z12z21z22)(I1I2)

なお、回路の双対性によりz12=z21が成立します。

Z行列の求め方

  1. 端子2を開放I2=0し、端子1に電圧源V1を接続したときに回路に流れる電流I1,I2の関係式を求める。
  2. 端子1を開放I1=0し、端子2に電圧源V1を接続したときに回路に流れる電流I1,I2の関係式を求める。
  3. 1.2.で求めた関係式を用い、z行列の具体的な値を求める。

教科書では、いちいち開放した図で回路を書きなおし、説明していないことが多いです。しかし、暗黙の了解ですので、実際は一方の端子を開放した前提で関係式を立てています。初学者の場合、何かと誤解しがちな内容ですが、まずは上記の手順をマスターすることが慣れへの近道です。

また、Z行列では端子2に流れる電流の向きは回路に向かって流れる側を正と置きます。F行列とは反対なのでご注意下さい。

例題

端子1-2の間にインピーダンスZ1,Z2,Z3がT型に接続されている場合を考えます。

まずは手順1:端子2を開放したときを考えます。I2=0で、Z3に電流は流れないことから

(3)V1=Z1I1+Z2I1V2=Z2I1

(2)式と比較するとz11=Z1+Z2,z12=Z2が分かる。

次に、手順2:端子1を開放したときを考えます。回路の対称性により

(4)V2=Z2I2+Z3I2V2=Z2I2

(2)式と比較するとz21=Z2,z22=Z2+Z3が分かる。

以上より、求めるz行列は

(5)(Z1+Z2Z2Z2Z2+Z3)

Z行列の性質

以下を覚えておくと、問題を解くうえで有利になります。

  1. 回路の対称性により、z12=z21
  2. Z行列Z1,Z2でそれぞれ示される2端子対回路を直列接続した回路におけるZ行列はZ1+Z2

1.について、例題を読んでいて気付いた方も居るかもしれません。端子1-1’を開放した時、端子2-2’を開放した時、それぞれから見て回路中央部分のインピーダンスは変わらないことから上記の関係式が成立します。

2.について、そもそもz行列(特にz11成分)の意味として、”出力端を開放したときの入力インピーダンス”になります。となると、入力端と出力端の間に複数の素子が入り、それぞれのZ行列で表されるとすると、入力インピーダンスの観点で言えば足し合わせるだけで全体のZ行列の表現が可能だと直感的に分かります。

補足:2端子対回路の定義

何の気なしに使っている2端子対回路という言葉ですが、実際どのような条件を満たせばそう呼べるのでしょうか。結論ですが、下記3点が成立するときになります。

2端子対回路の定義
  1. 回路に非線形素子が含まれておらず、重ね合わせの理が成立すること
  2. 端子1から流れ出る電流、端子1’に入る電流が等しいこと(端子2-2’も同様)
  3. 内部に発振回路を持たないこと

試験で問われることは少ないですが、教養として持っておくと吉です。”内部の素子が線形素子で構成されて、発振しないこと”と大まかに覚えておくと大丈夫です。

解答例

例題と同様の手順で解いていきます。

(1)π型回路

まず、端子2-2’を開放したときの端子1-1’間の電圧V1を考える。Z1Z2,Z3の並列回路と見られるので

(6)V1=Z1(Z2+Z3)Z1+Z2+Z3I1

これがz11成分にあたる。

また、I1=Z1Z1+Z2+Z3だから

(7)V2=Z3I1=Z1Z3Z1+Z2+Z3

これがz12=z21成分にあたる。

以上より、求めるZ行列は

(8)Z1=(Z1(Z2+Z3)Z1+Z2+Z3Z1Z3Z1+Z2+Z3Z1Z3Z1+Z2+Z3Z3(Z1+Z2)Z1+Z2+Z3)

(2)ブリッジ回路

端子2-2’を開放したとき、回路はインピーダンスZ1+Z2の並列回路である。電流I1は半分ずつ分流するので

(9)V1=Z1+Z22I1

(10)V2=Z2I12Z1I12

それぞれ、z11,z21成分に対応する。

端子1-1’を開放したとき、回路の対称性から

(11)V1=Z2Z12I1

(12)V2=Z1+Z22I2

それぞれ、z12,z22成分に対応する。

以上より、求めるz行列は

(13)Z2=(Z1+Z22Z2Z12Z2Z12Z1+Z22)

(3)ブリッジ回路の直列接続

Z行列の性質2より、(2)の結果を2回足し合わせれば良い。

(14)Z3=Z2+Z2=(Z1+Z2Z2Z1Z2Z1Z1+Z2)

最後に

これくらいの問題が解けるようになれば、院試でもそこそこ得点できるようになるはずです。

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