【電気回路】2端子対回路-Z行列の使い方を例題形式で解説

Z行列とは

2端子対回路における入力端および出力端の電圧\(V_{1},V_{2}\)の関係をインピーダンス行列で表したものになります。入力端から流れる電流\(I_{1}\)、出力端から流れる電流\(I_{2}\)を変数とし、z行列を

\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22}\end{pmatrix}

とすると、2端子対回路は下記の式で表されます。

\begin{aligned}\begin{pmatrix} V_{1} \\ V_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_{1} \\ I_{2} \end{pmatrix}\end{aligned}

なお、回路の双対性により\(z_{12}=z_{21}\)が成立します。

Z行列の求め方

教科書では、いちいち開放した図で回路を書きなおし、説明していないことが多いです。しかし、暗黙の了解ですので、実際は一方の端子を開放した前提で関係式を立てています。初学者の場合、何かと誤解しがちな内容ですが、まずは上記の手順をマスターすることが慣れへの近道です。

また、Z行列では端子2に流れる電流の向きは回路に向かって流れる側を正と置きます。F行列とは反対なのでご注意下さい。

例題

端子1-2の間にインピーダンス\(Z_{1},Z_{2},Z_{3}\)がT型に接続されている場合を考えます。

まずは手順1：端子2を開放したときを考えます。\(I_{2}=0\)で、\(Z_{3}\)に電流は流れないことから

\begin{aligned}V_{1}=Z_{1}I_{1}+Z_{2}I_{1} \\ V_{2}=Z_{2}I_{1}\end{aligned}

(2)式と比較すると\(z_{11}=Z_{1}+Z_{2},z_{12}=Z_{2}\)が分かる。

次に、手順2：端子1を開放したときを考えます。回路の対称性により

\begin{aligned}V_{2}=Z_{2}I_{2}+Z_{3}I_{2} \\ V_{2}=Z_{2}I_{2}\end{aligned}

(2)式と比較すると\(z_{21}=Z_{2},z_{22}=Z_{2}+Z_{3}\)が分かる。

以上より、求めるz行列は

\begin{pmatrix} Z_{1}+Z_{2} & Z_{2} \\ Z_{2} & Z_{2}+Z_{3}\end{pmatrix}

Z行列の性質

以下を覚えておくと、問題を解くうえで有利になります。

1.について、例題を読んでいて気付いた方も居るかもしれません。端子1-1’を開放した時、端子2-2’を開放した時、それぞれから見て回路中央部分のインピーダンスは変わらないことから上記の関係式が成立します。

2.について、そもそもz行列(特に\(z_{11}\)成分)の意味として、”出力端を開放したときの入力インピーダンス”になります。となると、入力端と出力端の間に複数の素子が入り、それぞれのZ行列で表されるとすると、入力インピーダンスの観点で言えば足し合わせるだけで全体のZ行列の表現が可能だと直感的に分かります。

補足：2端子対回路の定義

何の気なしに使っている2端子対回路という言葉ですが、実際どのような条件を満たせばそう呼べるのでしょうか。結論ですが、下記3点が成立するときになります。

試験で問われることは少ないですが、教養として持っておくと吉です。”内部の素子が線形素子で構成されて、発振しないこと”と大まかに覚えておくと大丈夫です。

解答例

例題と同様の手順で解いていきます。

(1)π型回路

まず、端子2-2’を開放したときの端子1-1’間の電圧\(V_{1}\)を考える。\(Z_{1}\)と\(Z_{2},Z_{3}\)の並列回路と見られるので

\begin{aligned}V_{1}&=\dfrac{Z_{1}(Z_{2}+Z_{3})}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}}I_{1}\end{aligned}

これが\(z_{11}\)成分にあたる。

また、\(I_{1}’=\frac{Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}}\)だから

\begin{aligned}V_{2}&=Z_{3}I_{1}’ \\ &=\dfrac{Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}}\end{aligned}

これが\(z_{12}=z_{21}\)成分にあたる。

以上より、求めるZ行列は

\begin{aligned}\boldsymbol{Z_{1}}=\begin{pmatrix}\dfrac{Z_{1}(Z_{2}+Z_{3})}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}} & \dfrac{Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}} \\ \dfrac{Z_{1}Z_{3}}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}} & \dfrac{Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})}{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}}\end{pmatrix}\end{aligned}

(2)ブリッジ回路

端子2-2’を開放したとき、回路はインピーダンス\(Z_{1}+Z_{2}\)の並列回路である。電流\(I_{1}\)は半分ずつ分流するので

\begin{aligned}V_{1}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{2}I_{1}\end{aligned}

\begin{aligned}V_{2}=Z_{2}\dfrac{I_{1}}{2}-Z_{1}\dfrac{I_{1}}{2}\end{aligned}

それぞれ、\(z_{11},z_{21}\)成分に対応する。

端子1-1’を開放したとき、回路の対称性から

\begin{aligned}V_{1}=\dfrac{Z_{2}-Z_{1}}{2}I_{1}\end{aligned}

\begin{aligned}V_{2}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{2}I_{2}\end{aligned}

それぞれ、\(z_{12},z_{22}\)成分に対応する。

以上より、求めるz行列は

\begin{aligned}\boldsymbol{Z_{2}}=\begin{pmatrix}\dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{2} & \dfrac{Z_{2}-Z_{1}}{2} \\ \dfrac{Z_{2}-Z_{1}}{2} & \dfrac{Z_{1}+Z_{2}}{2}\end{pmatrix}\end{aligned}

(3)ブリッジ回路の直列接続

Z行列の性質2より、(2)の結果を2回足し合わせれば良い。

\begin{aligned}\boldsymbol{Z_{3}}&=\boldsymbol{Z_{2}}+\boldsymbol{Z_{2}} \\ &=\begin{pmatrix}Z_{1}+Z_{2} & Z_{2}-Z_{1} \\ Z_{2}-Z_{1} & Z_{1}+Z_{2}\end{pmatrix}\end{aligned}

最後に

これくらいの問題が解けるようになれば、院試でもそこそこ得点できるようになるはずです。