【電気回路】2端子対回路-Z行列の使い方を例題形式で解説

Z行列とは

2端子対回路における入力端および出力端の電圧$V_1,V_2$の関係をインピーダンス行列で表したものになります。入力端から流れる電流$I_1$、出力端から流れる電流$I_2$を変数とし、z行列を

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{cc}{z}_{11}& z_{12}\\ z_{21}& z_{22}\end{array}\right)\end{array}$$

とすると、2端子対回路は下記の式で表されます。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{z}_{11}& z_{12}\\ z_{21}& z_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

なお、回路の双対性により$z_{12}=z_{21}$が成立します。

Z行列の求め方

教科書では、いちいち開放した図で回路を書きなおし、説明していないことが多いです。しかし、暗黙の了解ですので、実際は一方の端子を開放した前提で関係式を立てています。初学者の場合、何かと誤解しがちな内容ですが、まずは上記の手順をマスターすることが慣れへの近道です。

また、Z行列では端子2に流れる電流の向きは回路に向かって流れる側を正と置きます。F行列とは反対なのでご注意下さい。

例題

端子1-2の間にインピーダンス$Z_1,Z_2,Z_3$がT型に接続されている場合を考えます。

まずは手順1：端子2を開放したときを考えます。$I_2=0$で、$Z_3$に電流は流れないことから

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{V}_1=Z_1{I}_1+Z_2{I}_1\\ V_2=Z_2{I}_1\end{array}\end{array}$$

(2)式と比較すると$z_{11}=Z_1+Z_2,z_{12}=Z_2$が分かる。

次に、手順2：端子1を開放したときを考えます。回路の対称性により

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}{V}_2=Z_2{I}_2+Z_3{I}_2\\ V_2=Z_2{I}_2\end{array}\end{array}$$

(2)式と比較すると$z_{21}=Z_2,z_{22}=Z_2+Z_3$が分かる。

以上より、求めるz行列は

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \left(\begin{array}{cc}{Z}_1+Z_2& Z_2\\ Z_2& Z_2+Z_3\end{array}\right)\end{array}$$

Z行列の性質

以下を覚えておくと、問題を解くうえで有利になります。

1.について、例題を読んでいて気付いた方も居るかもしれません。端子1-1’を開放した時、端子2-2’を開放した時、それぞれから見て回路中央部分のインピーダンスは変わらないことから上記の関係式が成立します。

2.について、そもそもz行列(特に$z_{11}$成分)の意味として、”出力端を開放したときの入力インピーダンス”になります。となると、入力端と出力端の間に複数の素子が入り、それぞれのZ行列で表されるとすると、入力インピーダンスの観点で言えば足し合わせるだけで全体のZ行列の表現が可能だと直感的に分かります。

補足：2端子対回路の定義

何の気なしに使っている2端子対回路という言葉ですが、実際どのような条件を満たせばそう呼べるのでしょうか。結論ですが、下記3点が成立するときになります。

試験で問われることは少ないですが、教養として持っておくと吉です。”内部の素子が線形素子で構成されて、発振しないこと”と大まかに覚えておくと大丈夫です。

解答例

例題と同様の手順で解いていきます。

(1)π型回路

まず、端子2-2’を開放したときの端子1-1’間の電圧$V_1$を考える。$Z_1$と$Z_2,Z_3$の並列回路と見られるので

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{V}_1& ={\displaystyle \frac{Z_1(Z_2+Z_3)}{Z_1+Z_2+Z_3}}{I}_1\end{array}\end{array}$$

これが$z_{11}$成分にあたる。

また、$I_1^{\prime }=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2+Z_3}$だから

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}{V}_2& =Z_3{I}_1^{\prime }\\ & ={\displaystyle \frac{Z_1{Z}_3}{Z_1+Z_2+Z_3}}\end{array}\end{array}$$

これが$z_{12}=z_{21}$成分にあたる。

以上より、求めるZ行列は

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{\mathit{Z}}_{\mathbf{1}}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{Z_1(Z_2+Z_3)}{Z_1+Z_2+Z_3}}& {\displaystyle \frac{Z_1{Z}_3}{Z_1+Z_2+Z_3}}\\ {\displaystyle \frac{Z_1{Z}_3}{Z_1+Z_2+Z_3}}& {\displaystyle \frac{Z_3(Z_1+Z_2)}{Z_1+Z_2+Z_3}}\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

(2)ブリッジ回路

端子2-2’を開放したとき、回路はインピーダンス$Z_1+Z_2$の並列回路である。電流$I_1$は半分ずつ分流するので

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}{V}_1={\displaystyle \frac{Z_1+Z_2}{2}}{I}_1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{r}{V}_2=Z_2{\displaystyle \frac{I_1}{2}}-Z_1{\displaystyle \frac{I_1}{2}}\end{array}\end{array}$$

それぞれ、$z_{11},z_{21}$成分に対応する。

端子1-1’を開放したとき、回路の対称性から

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}{V}_1={\displaystyle \frac{Z_2-Z_1}{2}}{I}_1\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}{V}_2={\displaystyle \frac{Z_1+Z_2}{2}}{I}_2\end{array}\end{array}$$

それぞれ、$z_{12},z_{22}$成分に対応する。

以上より、求めるz行列は

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}{\mathit{Z}}_{\mathbf{2}}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{Z_1+Z_2}{2}}& {\displaystyle \frac{Z_2-Z_1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{Z_2-Z_1}{2}}& {\displaystyle \frac{Z_1+Z_2}{2}}\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

(3)ブリッジ回路の直列接続

Z行列の性質2より、(2)の結果を2回足し合わせれば良い。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}{\mathit{Z}}_{\mathbf{3}}& ={\mathit{Z}}_{\mathbf{2}}+{\mathit{Z}}_{\mathbf{2}}\\ & =\left(\begin{array}{cc}{Z}_1+Z_2& Z_2-Z_1\\ Z_2-Z_1& Z_1+Z_2\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

最後に

これくらいの問題が解けるようになれば、院試でもそこそこ得点できるようになるはずです。