異なる誘電体、磁性体の電場、磁場の境界条件

はじめに

本問は、九大で良く出題されます。

一般的に、同軸ケーブルで発生する電場を求めるならばガウスの法則。磁場を求めるならばアンペールの法則を使用すると良いです。

しかし、本問のように媒質が2つ以上あると追加で必要な考え方があります。

本問で覚えてほしいこと

１．２．については、よく教科書で解説されています。他サイトでも多数の解説があるため、本記事では導出過程を省略します。

１．２．の事実を用い、問題を解いていきます。電場$E$は半径$r$方向、磁場$H$は円周$\theta$方向に発生します。このため、電場は(b)の媒質で連続になります。磁場は、(a)の媒質で連続になります。これが３．４．を表します。

解答例

(a)円周方向に平行な媒質

電場の算出

前章の解説により、電束密度$D$が${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$の間で連続。

電束密度によるガウスの法則から$a<r<b$の範囲において

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}{\int }_V\mathit{D}\cdot d\mathit{s}=Q\\ \mathit{D}\cdot 2\pi r=Q\hat{\mathit{r}}\\ \mathit{D}={\displaystyle \frac{Q}{2\pi r}}\hat{\mathit{r}}\\ D={\displaystyle \frac{Q}{2\pi r}}\end{array}\end{array}$$

あとは、媒質1 ${\epsilon }_1(a<r<x)$と媒質2 ${\epsilon }_2(x<r<b)$で電場に変換し

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}{E}_1={\displaystyle \frac{D}{{\epsilon }_1}}={\displaystyle \frac{Q}{4\pi r{\epsilon }_1}}(a<r<x)\\ E_2={\displaystyle \frac{D}{{\epsilon }_2}}={\displaystyle \frac{Q}{4\pi r{\epsilon }_2}}(x<r<b)\end{array}\end{array}$$

磁場の算出

境界面において磁場$H$は連続なので

磁場によるアンペールの法則から、$a<r<b$の領域において

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{\int }_{c}H\cdot ds=I\\ H\cdot 2\pi r=I\\ H={\displaystyle \frac{I}{2\pi r}}\end{array}\end{array}$$

なお、磁束密度$B$に直すと

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{B}_1={\mu }_{1}H={\displaystyle \frac{{\mu }_{1}I}{2\pi r}} (a<r<x)\\ B_2={\mu }_{2}H={\displaystyle \frac{{\mu }_{2}I}{2\pi r}} (x<r<b)\end{array}\end{array}$$

(b)円周方向に垂直な媒質の場合

電場の算出

媒質の境界面は$r$方向である。よって、電場もr方向を向くので連続になる。

媒質1に帯電する電荷を$Q_1$、媒質2に帯電する電荷密度を$Q_2$とすると

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{Q}_1+Q_2=Q\\ {\displaystyle \frac{Q_1}{{\epsilon }_{1}S}}={\displaystyle \frac{Q_2}{{\epsilon }_{2}S}}\end{array}\end{array}$$

これを解いて

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{l}{Q}_1={\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{\epsilon ,+{\epsilon }_2}}Q\\ Q_2={\displaystyle \frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}}Q\end{array}\end{array}$$

よって、求める電場$E$は媒質1、媒質2ともに下記のように一致する。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{l}{E}_1={\displaystyle \frac{Q_1}{{\epsilon }_{1}S}}={\displaystyle \frac{Q}{{\epsilon }_1\pi r}}\cdot {\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}}={\displaystyle \frac{Q}{\pi ({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)r}}\\ E_2={\displaystyle \frac{Q_2}{{\epsilon }_{2}s}}={\displaystyle \frac{Q}{{\epsilon }_2\pi r}}\cdot {\displaystyle \frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1+{\epsilon }_2}}={\displaystyle \frac{Q}{\pi ({\epsilon }_1+{\epsilon }_2)r}}\end{array}\end{array}$$

磁場の算出

磁束密度$B$が境界面において連続になる。

アンペールの法則を考える。円周路は、$\pi r$ずつ透磁率${\mu }_1,{\mu }_2$内に存在するので

$$\begin{array}{}\text{(8)}& B\cdot 2\pi r={\displaystyle \frac{{\mu }_{1}I}{2}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_{2}I}{2}}\text{(9)}& B={\displaystyle \frac{({\mu }_1+{\mu }_2)}{4\pi r}}I\end{array}$$

これより、求める磁場$H$は

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}{H}_1={\displaystyle \frac{B}{{\mu }_1}}={\displaystyle \frac{({\mu }_1+{\mu }_2)}{4\pi r{\mu }_1}}I\\ H_2={\displaystyle \frac{B}{{\mu }_2}}={\displaystyle \frac{({\mu }_1+{\mu }_2)}{4\pi r{\mu }_2}}I\end{array}\end{array}$$

最後に

本問に限らず、境界条件を活用して電場、磁場を求める問題は院試頻出です。参考になれば幸いです。