異なる誘電体、磁性体の電場、磁場の境界条件

はじめに

本問は、九大で良く出題されます。

一般的に、同軸ケーブルで発生する電場を求めるならばガウスの法則。磁場を求めるならばアンペールの法則を使用すると良いです。

しかし、本問のように媒質が2つ以上あると追加で必要な考え方があります。

本問で覚えてほしいこと

１．２．については、よく教科書で解説されています。他サイトでも多数の解説があるため、本記事では導出過程を省略します。

１．２．の事実を用い、問題を解いていきます。電場\(E\)は半径\(r\)方向、磁場\(H\)は円周\(\theta\)方向に発生します。このため、電場は(b)の媒質で連続になります。磁場は、(a)の媒質で連続になります。これが３．４．を表します。

解答例

(a)円周方向に平行な媒質

電場の算出

前章の解説により、電束密度\(D\)が\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\)の間で連続。

電束密度によるガウスの法則から\(a<r<b\)の範囲において

\begin{aligned}\int_{V} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{s}=Q\\ \boldsymbol{D} \cdot 2\pi r=Q\widehat{\boldsymbol{r}} \\ \boldsymbol{D}=\dfrac{Q}{2\pi r}\widehat{\boldsymbol{r}} \\ D=\dfrac{Q}{2\pi r}\end{aligned}

あとは、媒質1 \(\varepsilon _{1}(a<r<x)\)と媒質2 \(\varepsilon _{2}(x<r<b)\)で電場に変換し

\begin{cases}E_{1}=\dfrac{D}{\varepsilon _{1}}=\dfrac{Q}{4\pi r\varepsilon _{1}}(a <r <x) \\ E_{2}=\dfrac{D}{\varepsilon _{2}}=\dfrac{Q}{4\pi r\varepsilon _{2}}\left( x<r <b\right) \end{cases}

磁場の算出

境界面において磁場\(H\)は連続なので

磁場によるアンペールの法則から、\(a<r<b\)の領域において

\begin{aligned}\int_{c} H\cdot ds=I \\ H \cdot 2\pi r=I\\ H=\dfrac{I}{2\pi r}\end{aligned}

なお、磁束密度\(B\)に直すと

\begin{cases}B_{1}=\mu_{1}H=\dfrac{\mu_{1}I}{2\pi r } 　(a<r<x)\\ B_{2}=\mu _{2}H=\dfrac{\mu_{2}I}{2\pi r} 　(x<r<b) \end{cases}

(b)円周方向に垂直な媒質の場合

電場の算出

媒質の境界面は\(r\)方向である。よって、電場もr方向を向くので連続になる。

媒質1に帯電する電荷を\(Q_{1}\)、媒質2に帯電する電荷密度を\(Q_{2}\)とすると

\begin{cases}Q_{1}+Q_{2}=Q \\ \dfrac{Q_{1}}{\varepsilon_{1} S}=\dfrac{Q_{2}}{\varepsilon _{2}S}\end{cases}

これを解いて

\begin{cases}Q_{1}=\dfrac{\varepsilon _{1}}{\varepsilon ,+\varepsilon _{2}}Q\\ Q_{2}=\dfrac{\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}Q\end{cases}

よって、求める電場\(E\)は媒質1、媒質2ともに下記のように一致する。

\begin{cases}E_{1}=\dfrac{Q_{1}}{\varepsilon _{1}S}=\dfrac{Q}{\varepsilon _{1}\pi r}\cdot \dfrac{\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}=\dfrac{Q}{\pi \left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) r}\\ E_{2}=\dfrac{Q_{2}}{\varepsilon _{2}s}=\dfrac{Q}{\varepsilon_{2} \pi r}\cdot \dfrac{\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}=\dfrac{Q}{\pi \left( \varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right) r}\end{cases}

磁場の算出

磁束密度\(B\)が境界面において連続になる。

アンペールの法則を考える。円周路は、\(\pi r\)ずつ透磁率\(\mu_{1},\mu_{2}\)内に存在するので

\begin{eqnarray}B \cdot 2\pi r=\dfrac{\mu _{1}I}{2}+\dfrac{\mu _{2}I}{2} \\ B=\dfrac{\left( \mu _{1}+\mu _{2}\right) }{4\pi r}I \end{eqnarray}

これより、求める磁場\(H\)は

\begin{cases}H_{1}=\dfrac{B}{\mu _{1}}=\dfrac{\left( \mu _{1}+\mu _{2}\right) }{4\pi r\mu _{1}}I\\ H_{2}=\dfrac{B}{\mu _{2}}=\dfrac{\left( \mu _{1}+\mu _{2}\right) }{4\pi r\mu _{2}}I\end{cases}

最後に

本問に限らず、境界条件を活用して電場、磁場を求める問題は院試頻出です。参考になれば幸いです。