ビオサバールの法則の計算、アンペールの法則の適用可能条件

はじめに

磁束密度を求める際、ビオサバールの法則とアンペールの法則を用いたことがあると思います。

問題経験が増えてくると、問題を解くことがパターン化し、無意識のうちに両者を使い分けている人が多いです。

ですが、計算していく上で気を付けなければならないことがあります。

本記事で覚えたいこと

２．が本記事で主張したいことです。

１．の式の定義から明らかですが、スカラーに変換した式で向きを無視し、機械的に計算すると間違った結果になってしまいます。

逆に、これさえ気を付ければ、後は計算ミスに気を付けるのみです。

アンペールの法則の法則の意味は以下になります。

取った閉路上の磁場が一定値ならば、閉路内に存在する電流値を閉路の長さで割った値が磁場\(H\)に等しい。

ですので、閉路C上にある磁場が一定値であることが重要になります。本問では、どの場合が当てはまるのでしょうか。

解答例

(1) ビオサバールの法則

電流ベクトルと点Pに対する向きが同じのため、積分路\(C_{1},C_{3}\)から発生する磁束密度は0。

半円積分路\(C_{2}\)から発生する磁束密度を考える。

微小線分から発生する磁場は

\begin{aligned}dB=-\dfrac{\mu _{0}Ia}{4\pi a^{2}}d\theta \\ \end{aligned}

これを区間\(0≦\theta≦\pi\)で積分し

\begin{aligned}B&=-\int ^{\pi }_{0} \dfrac {\mu_{0}I}{4\pi a}d\theta \\
&=-\dfrac{\mu _{0}I}{4a}\end{aligned}

(2)アンペールの法則

(a)半径aの円環電流から発生する磁場

点P周りに閉路を取ったとき、半径方向の磁場分布が区間によって異なる。

対称な磁場分布とならないため、アンペールの法則は適用できない。

ビオサバールの法則で磁束密度を求める。式(4)の積分範囲を\(2 \pi\)に換算すれば良いので

\begin{aligned}B=-\dfrac{\mu _{0}I}{2a}\end{aligned}

(b)半径a、半径bの無限長導体に挟まれている点P

無限長導体のため、アンペールの法則を適用可能。

\begin{eqnarray}B =\dfrac{\mu_{0} \cdot a^{2}J}{2x}+\dfrac{\mu _{0}a^{2}J}{2\left( c-x\right) }\end{eqnarray}

※有限長ソレノイドの場合はアンペールの法則を適用できません。(a)の円環電流の計算を巻き数分適用する必要があります。

(c) 内半径a、外半径b、高さ1、巻き数Nの環状ソレノイド

環状ソレノイド内は対称な磁場分布となるため、アンペールの法則を適用可能。

\begin{eqnarray}B=\dfrac{\mu _{0}NI}{2\pi r}\end{eqnarray}

(d) 半径aの導体の一部に半径bの穴が開いた無限長導体

これは特殊ケースです。

以前の記事でも紹介しましたが、穴の開いた導体から発生する磁場を計算する際は、以下の考え方を利用します。

この考えを適用すると、(b)のようにアンペールの法則を使用できます。

まず、穴の無い場合は

\begin{aligned}B_{1}=\dfrac{J\pi r^{2}\mu _{0}}{2\pi r}=\dfrac{\mu_{0} J}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\end{aligned}

次に、穴のある部分について、\(y’=y-d\)とすれば良いので

\begin{aligned}B_{2}=-\dfrac{\mu_{0} J}{2}\sqrt{x^{2}+\left( y-d\right) ^{2}}\end{aligned}

これより、求める磁場は、\(B_{1},B_{2}\)を足し合わせると良いので

\begin{aligned}B=\dfrac{\mu_{0} J}{2}(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{x^{2}+\left( y-d\right) ^{2}})\end{aligned}

最後に

本記事で磁界計算の基本を紹介しました。問題集にて、難しめの問題を経験すると良いと思います。

参考文献

詳解電磁気学演習 P243：後藤 憲一(著)、山崎 修一郎(著)