ビオサバールの法則の計算、アンペールの法則の適用可能条件

はじめに

磁束密度を求める際、ビオサバールの法則とアンペールの法則を用いたことがあると思います。

問題経験が増えてくると、問題を解くことがパターン化し、無意識のうちに両者を使い分けている人が多いです。

ですが、計算していく上で気を付けなければならないことがあります。

本記事で覚えたいこと

２．が本記事で主張したいことです。

１．の式の定義から明らかですが、スカラーに変換した式で向きを無視し、機械的に計算すると間違った結果になってしまいます。

逆に、これさえ気を付ければ、後は計算ミスに気を付けるのみです。

アンペールの法則の法則の意味は以下になります。

取った閉路上の磁場が一定値ならば、閉路内に存在する電流値を閉路の長さで割った値が磁場$H$に等しい。

ですので、閉路C上にある磁場が一定値であることが重要になります。本問では、どの場合が当てはまるのでしょうか。

解答例

(1) ビオサバールの法則

電流ベクトルと点Pに対する向きが同じのため、積分路$C_1,C_3$から発生する磁束密度は0。

半円積分路$C_2$から発生する磁束密度を考える。

微小線分から発生する磁場は

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}dB=-{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}Ia}{4\pi a^2}}d\theta \end{array}\end{array}$$

これを区間$0\leqq \theta \leqq \pi$で積分し

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}B& =-{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}}d\theta \\ & =-{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{4a}}\end{array}\end{array}$$

(2)アンペールの法則

(a)半径aの円環電流から発生する磁場

点P周りに閉路を取ったとき、半径方向の磁場分布が区間によって異なる。

対称な磁場分布とならないため、アンペールの法則は適用できない。

ビオサバールの法則で磁束密度を求める。式(4)の積分範囲を$2\pi$に換算すれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}B=-{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2a}}\end{array}\end{array}$$

(b)半径a、半径bの無限長導体に挟まれている点P

無限長導体のため、アンペールの法則を適用可能。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& B={\displaystyle \frac{{\mu }_0\cdot a^{2}J}{2x}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_0{a}^{2}J}{2(c-x)}}\end{array}$$

※有限長ソレノイドの場合はアンペールの法則を適用できません。(a)の円環電流の計算を巻き数分適用する必要があります。

(c) 内半径a、外半径b、高さ1、巻き数Nの環状ソレノイド

環状ソレノイド内は対称な磁場分布となるため、アンペールの法則を適用可能。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}}\end{array}$$

(d) 半径aの導体の一部に半径bの穴が開いた無限長導体

これは特殊ケースです。

以前の記事でも紹介しましたが、穴の開いた導体から発生する磁場を計算する際は、以下の考え方を利用します。

この考えを適用すると、(b)のようにアンペールの法則を使用できます。

まず、穴の無い場合は

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}{B}_1={\displaystyle \frac{J\pi r^2{\mu }_0}{2\pi r}}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}J}{2}}\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\end{array}$$

次に、穴のある部分について、$y^{\prime }=y-d$とすれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}{B}_2=-{\displaystyle \frac{{\mu }_{0}J}{2}}\sqrt{x^2+{(y-d)}^2}\end{array}\end{array}$$

これより、求める磁場は、$B_1,B_2$を足し合わせると良いので

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}J}{2}}(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2+{(y-d)}^2})\end{array}\end{array}$$

最後に

本記事で磁界計算の基本を紹介しました。問題集にて、難しめの問題を経験すると良いと思います。

参考文献

詳解電磁気学演習 P243：後藤 憲一(著)、山崎 修一郎(著)