円筒導体の対地静電容量、インダクタンスの計算問題

対地静電容量について

将来、電力系統工学を勉強するとき、フェランチ効果を理解するための背景知識に用います。

円筒導体が電荷を帯びている時、電場が発生します。電場は、電位が小さい箇所に向かって流れるため、電位0のアースに向かって流れます。

このような物理現象により、円筒導体と接地極には静電容量が発生している解釈ができます。

静電容量が発生すると、充電により電圧が発生しているとみなすことができます。よって、受電端が送電端よりも電圧が高くなる現象が発生します。これをフェランチ効果と言います。

本記事では、円筒導体とアースの間の静電容量に関する振る舞いを解説していきます。

対地静電容量の求め方

以前の記事で一度説明した鏡像法を利用します。アースと対称な位置に鏡像電荷を置き、両者から発生する電位、電場を求める方針に変わりありません。

なお、無限長導体であるため、単位長さ辺りの電荷密度で考えます。

(1)導体1に働く力

鏡像電荷とのクーロンの法則を考えれば良い。真電荷と2hの距離が離れているので

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}F={\displaystyle \frac{{\lambda }^2}{4\pi {\epsilon }_o(2h{)}^2}}={\displaystyle \frac{{\lambda }^2}{16\pi {\epsilon }_o{h}^2}}\end{array}\end{array}$$

(2)導体1と接地された平板間の静電容量

ガウスの法則より、半径$z$の円筒を取って

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}E(z)={\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_o(h-z)}}+{\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_o(h+z)}}\end{array}\end{array}$$

これより、導体1の電位は、平板が基準(電位0)。(a<<h)なので

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{h-a}E(z)dz\\ & ={\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_o}}[-\log (h-z)+\log (h+z){]}_0^{h-a}\\ & ={\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_o}}\log {\displaystyle \frac{2h-a}{a}}\\ & \fallingdotseq {\displaystyle \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_o}}\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}\end{array}\end{array}$$

したがって、求める静電容量$C$は、$\lambda =CV$の関係により

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}C={\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_o}{\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}}}\end{array}\end{array}$$

(3)インダクタンスの算出

鏡像法は、電荷だけでなくインダクタンスを考える時にも適用できます。対地側に逆方向を向く鏡像電流-Iが流れていると仮定する。

アンペールの法則により、導体の間(0<z<h-a)で発生する磁束密度は

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{r}B(z)={\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi (h-z)}}+{\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi (h+z)}}\end{array}\end{array}$$

これより、導体1と平板の間に鎖交する磁束$\varphi$は

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}\varphi & ={\int }_0^{h-a}{\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi }}({\displaystyle \frac{1}{h-z}}+{\displaystyle \frac{1}{h+z}})dz\\ & ={\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi }}{[-\log (h-z)+\log (h+z)]}_0^{h-a}\\ & ={\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi }}\log {\displaystyle \frac{2h-a}{a}}\\ & \fallingdotseq {\displaystyle \frac{{\mu }_{o}I}{2\pi }}\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}\end{array}\end{array}$$

以上より、求めるインダクタンスは、$\varphi =LI$より

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}L={\displaystyle \frac{{\mu }_o}{2\pi }}\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}\end{array}\end{array}$$

(4)導体2にかかる電圧

まず、導体1と導体2の間の静電容量$C_{12}$について考える。

(4)式の結果の2hをdに置き換えれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{C}_{12}={\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_o}{\log {\displaystyle \frac{d}{a}}}}\end{array}\end{array}$$

上記の図のように、導体1-導体2-接地平板との直列回路を考える。

導体2にかかる電圧$V_2$は静電容量の逆比になるため、(4)式(5)式から

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{rl}{V}_2& ={\displaystyle \frac{C_{12}}{C+C_{12}}}{V}_1\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_o}{\log {\displaystyle \frac{d}{a}}}}}{{\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_o}{\log {\displaystyle \frac{d}{a}}}}+{\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_o}{\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}}}}}{V}_1\\ & ={\displaystyle \frac{\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}}{\log {\displaystyle \frac{2h}{a}}+\log {\displaystyle \frac{d}{a}}}}{V}_1\end{array}\end{array}$$

最後に

本問も、よく院試で出題されます。最後の問題だけやや難しいですが、基本事項の組み合わせで解くことができます。(1)(2)はマストで解けるようになりましょう。