\(\dfrac{\sin t}{t}\)をラプラス変換することで、下記の積分結果を求めよ。
\begin{eqnarray}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\sin t}{t}dt\end{eqnarray}
ただし、\begin{eqnarray} L\left[ \frac{f(t)}{t}\right] = \int ^{\infty }_{s}F(\tau)d\tau \\ L\left[ \sin at\right] =\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}} \end{eqnarray}
であることは、証明無しで用いて良い。
はじめに
先日、フーリエ変換を利用し、ある積分の値を求める問題の解法を説明しました。
院試では、ラプラス変換を利用して同様の内容を問われる場合があります。そのため、本記事で紹介します。
本記事で覚えたいこと
- 積分対象の関数をラプラス変換する
- 変換結果に特定の値を代入し、問題で求められている結果の式に近づける
行うことは、フーリエ級数展開、変換の場合と変わりません。手計算でラプラス変換することを、計算ミスなく行えるかが勝負だと思います。
少し積分対象の関数を難しくしてみました。分母に\(t\)がついている場合、ラプラス変換後の関数\(F(s)\)をもう一度積分することは、ついでに押さえておきたいです。
(逆に、\(-tf(t)\)をラプラス変換するとき、結果は\(F'(s)\)になります。)
解答例
(2)(3)式により、\begin{eqnarray}\int _{0}^{\infty }\dfrac{\sin t}{t}e^{-st}=\int _{s}^{\infty }\dfrac{d \tau}{\tau^{2}+1} \end{eqnarray}
\(\tau=\tan\theta\)とすると、\(ds=\frac{d \theta}{\cos^{2} \theta}\)、積分範囲は、\(\tau：s→∞,\theta：\alpha→\frac{ \pi }{2} \)になるので
よって、\begin{eqnarray}\int ^{\frac{\pi}{2} }_{\alpha}d\theta =\dfrac{\pi }{2} -\alpha=\dfrac{\pi }{2} -s\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\int _{0}^{\infty }\dfrac{\sin t}{t}e^{-st}=\dfrac{\pi }{2} -s\end{eqnarray}であるので、\(s=0\)を代入すると
\begin{eqnarray}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\sin t}{t}dt = \dfrac{\pi }{2}\end{eqnarray}を得る。
最後に
ラプラス変換の場合、\(s=0\)を代入することで、求めたい値に最終的に近づくことが多い印象です。他にもパターンがあるかもしれませんが、まずは上記のやり方を基本線にすると良いかもしれません。
