ラプラス変換を利用した積分方程式の問題、解法

数学

2026.05.04

問題

下記の積分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。
(a)\begin{eqnarray}f\left( t\right) -2\int _{0}^{t}f\left( t-\tau \right) f\left( \tau \right) d\tau =\cos t\end{eqnarray}
(b)\begin{aligned}& f^{\prime}(t)-\int^{t}_{0} \cos(t-\tau)f(\tau)d\tau=1 \quad(t>0) \\ &f(0)=0 \end{aligned}
ただし、下記のラプラス変換公式は用いて良い。
\begin{cases}L\left[ \sin t\right] =\dfrac{1}{s^{2}+1}\\ L\left[ \cos t\right] =\dfrac{s}{s^{2}+1} \\ L[f^{\prime}(t)]=sF(s)-f(0) \\ L[t^{n}]=\dfrac{n!}{s^{n+1}} \end{cases}

はじめに
本記事で覚えたいこと
解答例
1. 解答例(a)
2. 解答例(b)
最後に
参考文献

はじめに

微分方程式をラプラス変換し、解を求める方法は多数のサイトで説明されています。積分方程式に対しても同じ手法で解決することができますが、あまり解説するサイトが少ないように感じました。

そこで、本記事では、あえて積分方程式をラプラス変換を用いて解いてみます。

院試で出題されているところはあまり見たことがありません。心配性な方や、定期試験対策として演習を積むと良いと思います。

本記事で覚えたいこと

ラプラス変換の公式(合成積)\begin{eqnarray}L\left[ f\left( t\right) \right] L\left [g\left( t\right) \right] =\int _{0}^{t}f\left( \tau \right) g\left( t-\tau \right) d\tau\end{eqnarray}を利用して与えられた積分方程式をラプラス変換する
$F(s)=$(sの多項式)形に変形し、逆ラプラス変換。解を求める。

１．がキーポイントです。複雑そうな積分方程式でも、畳み込みであることを見抜けば、$\int$内にある2つの関数をそれぞれラプラス変換すれば良いです。

これさえクリアできれば、通常の微分方程式を解く方法と変わりません。

解答例

両方とも同じ解き方で解決できますが、慣れも含めて2問解きます。

解答例(a)

(1)式をラプラス変換すると

\begin{align}F\left( s\right) -2F\left( s\right) \dfrac{1}{s^{2}+1}&=\dfrac{s}{s^{2}+1}\\ \dfrac{s^{2}-1}{s+1}F\left( s\right) &=\dfrac{s}{s^{2}+1} \\ F\left( s\right) &=\dfrac{s}{s^{2}-1}\end{align}

これを部分分数分解し、逆ラプラス変換すると

\begin{align}F\left( s\right) &=\dfrac{1}{2\left( s+1\right) }+\dfrac{1}{2\left( s-1\right) }\\ f\left( t\right) &=\dfrac{1}{2}e^{t}+\dfrac{1}{2}e^{t}\end{align}

であることが分かった。

解答例(b)

積分項に$\cos$が入っていますが、畳み込み積分の考え方により

\begin{aligned}L\left[\int^{t}_{0}g(t-\tau)f(\tau)d\tau \right]=G(s)H(s)\end{aligned}

この関係を用いると、与えられた式のラプラス変換は下記のようになります。

\begin{aligned}sF(s)-f(0)-\dfrac{s}{s^{2}+1}F(s)=\dfrac{1}{s}\end{aligned}

$f(0)=0$の関係も含め、上式を整理すると

\begin{aligned}F(s)\left(s-\dfrac{s}{s^{2}+1}\right)=\dfrac{1}{s} \\ F(s)\left(\dfrac{s^{3}}{s^{2}+1}\right)=\dfrac{1}{s} \\ F(s)={s^{2}+1}{s^{4}} \\ F(s)=\dfrac{1}{s^{2}}+\dfrac{1}{s^{4}}\end{aligned}

問題文((3)の第4式)で与えられた逆ラプラス変換の公式により、求める解は

\begin{aligned}f(t)=t+\dfrac{1}{6}t^{3}\end{aligned}