テブナンの定理の性質と適用する上での注意点

テブナンの定理とは

どんな回路でも、任意の2点から回路全体を見る時、ある起電力とインピーダンスを持つ電源に変換できる法則を言います。(ヘルムホルツの定理とも呼ばれます。)

これにより、ある端子間に素子を繋ぐときに流れる電流は、下記3つの操作で求められます。

なお、2.の操作をするときは、重ね合わせの理を使用するときと同じく、電圧源は短絡、電流源は開放します。

テブナンの定理の証明

下記の電気回路モデルを考えます。箱の内部は任意の回路を示します。(ブラックボックス)

負荷$R_L$の下流に正負の向きを持つ端子電圧に等しい電圧源を挿入します。このとき、変換前の回路と等価になります。

(i)2次側向きの電圧源$-V_f$を短絡した時、端子1-1’間の電位差は0になるので電流は流れません。

(ii)逆に、2次側向きの電圧源$-V_f$のみ残し、電源側の電圧源と$V_f$を削除すると、$R_L$に流れる電流は

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}{I}_o={\displaystyle \frac{V_o}{R_o+R_L}}\end{array}\end{array}$$

になります。重ね合わせの理より、端子1-1’に流れる電流は(i)(ii)の重ね合わせで、(i)は電流0なので、(ii)のみ結果に影響します。これは、前節で述べたように端子側から見た電圧、インピーダンスと同じになります。

元々与えられていた電気回路の等価変換を繰り返すことにより、テブナンの等価回路を示すことができました。(証明完了)

使用する際の注意点

証明の流れからも分かりますが、注目する端子から見た開放電圧、インピーダンスを求めなければなりません。

時間が経ち理解があやふやになると、電気回路の左から見たインピーダンスなどを求めたくなります。しかし、実際そんなことはありません。忘れないようにしましょう。

解答例

(1)梯子型回路

まず、端子1-1’間の開放電圧$V_o$を考える。分圧の法則により

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}{V}_o& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2Z_1(Z_1+Z_2)}{2Z_1+Z_1+Z_2}}}{2Z_1+{\displaystyle \frac{2Z_1(Z_1+Z_2)}{2Z_1+Z_1+Z_2}}}}{\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}}E\\ & ={\displaystyle \frac{2Z_1(Z_1+Z_2)}{2Z_1(3Z_1+Z_2)+2Z_1(Z_1+Z_2)}}{\displaystyle \frac{Z_2}{Z_1+Z_2}}E\\ & ={\displaystyle \frac{Z_{2}E}{4Z_1+2Z_2}}\end{array}\end{array}$$

次に、端子1-1’間から見たインピーダンス$Z_o$を考える。$2Z_1$の並列回路の合成抵抗は$Z_1$だから

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}{Z}_o={\displaystyle \frac{2Z_1{Z}_2}{2Z_1+Z_2}}\end{array}\end{array}$$

以上より、インピーダンス$Z_3$を接続したときに流れる電流は

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}I& ={\displaystyle \frac{V_o}{Z_o+Z_3}}\\ & ={\displaystyle \frac{Z_{2}E}{4Z_1{Z}_2+2(2Z_1+Z_2)Z_3}}\end{array}\end{array}$$

(2)ブリッジ回路に流れる電流

本問は、よく院試に出てきます。平衡条件も合わせて考える必要があるため、出題者から見て様々な知識を問うことができるからです。

端子1-1’間の電圧$V_o$は

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}{V}_o={\displaystyle \frac{R}{R+j\omega L+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C}}}}E-{\displaystyle \frac{1}{2}}E\end{array}\end{array}$$

端子1-1’から見たインピーダンス$Z_o$は

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{rl}{Z}_o& ={\displaystyle \frac{R(j\omega L+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C}})}{R+j\omega L+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C}}}}+{\displaystyle \frac{R^2}{R+R}}\\ & ={\displaystyle \frac{R(1-{\omega }^{2}LC)}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega CR}}+{\displaystyle \frac{R}{2}}\end{array}\end{array}$$

上記を用いて、$R_a$を接続したときの電流

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}I={\displaystyle \frac{V_o}{R_a+Z_o}}\end{array}\end{array}$$

を求めることができる。

最後に

試験で血迷うと、どの間の端子電圧、インピーダンスを求めるのかど忘れしてしまうかもしれません。

必ず、端子間から見たパラメータを求めます。自信を持って答えましょう。