【電気回路】Y行列の性質とZ行列の関連性

問題

下記の電気回路のY行列を求めよ。

(1)対称格子回路
(2)図1の対称格子回路を2つ並列接続した回路

Y行列とは
1. Y行列の求め方
  1. 例題
2. Y行列の性質
解答例
1. (1)対称格子回路
2. (2)並列接続時
最後に

Y行列とは

二端子対回路において、電流と電圧の入出力関係をアドミタンス行列 $Y$ (下記)を用いて表したものです。

$\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{matrix}) \end{matrix}$

入出力関係は、下記のように表されます。

$\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} (\begin{array}{c} I_{1} \\ I_{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{array}) (\begin{array}{c} V_{1} \\ V_{2} \end{array}) \end{array} \end{matrix}$

Z行列では、左辺が電圧 $V$ でしたが、Y行列は電流になります。アドミタンスですので、分かりやすいですが、対応関係を覚えておきましょう。

Y行列の求め方

端子2を短絡 $V_{2} = 0$ し、端子1に電圧源 $V_{1}$ を接続したときに回路に流れる電流 $I_{1}, I_{2}$ の関係式を求める。
端子1を短絡 $I_{1} = 0$ し、端子2に電圧源 $V_{1}$ を接続したときに回路に流れる電流 $I_{1}, I_{2}$ の関係式を求める。
1.2.で求めた関係式を用い、y行列の具体的な値を求める。

Z行列の場合は端子を開放していましたが、y行列は短絡です。しかし、それ以外に行う計算は同じです。それぞれの行列形式に合わせて式を変形していくのみです。

例題

下記のT型回路のY行列を考えます。

まず、端子2を短絡したときのY行列を考えます。

電流 $I_{1}$ は、 $Z_{1}$ を通り、 $Z_{2}, Z_{3}$ の並列回路を通ることから

$\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} V_{1} = (Z_{1} + \frac{Z_{2} Z_{3}}{Z_{2} + Z_{3}}) I_{1} \end{array} \end{matrix}$

これを変形することで

$\begin{matrix} (4) & \begin{array}{r} I_{1} = \frac{Z_{2} + Z_{3}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} \end{array} \end{matrix}$

$y_{11}$ 成分に対応する。

また、電流 $I_{2}$ は、 $I_{1}$ に対し $Z_{2}, Z_{3}$ で分流するから

$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} I_{2} & = - \frac{Z_{2}}{Z_{2} + Z_{3}} \\ = - \frac{Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} \end{aligned} \end{matrix}$

$y_{21}$ 成分に対応する。

次に、端子1-1’を短絡したときのことを考える。

回路の対称性より、(4)式の $Z_{1}$ と $Z_{3}$ を入れ替えて

$\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} I_{2} = \frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} V_{2} \end{array} \end{matrix}$

$y_{22}$ 成分に対応する。また、電流 $I_{1}$ は

$\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} I_{1} & = - \frac{Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} \end{aligned} \end{matrix}$

$y_{12}$ 成分に対応する。よって、求めるY行列は

$\begin{matrix} (8) & \begin{array}{r} Y = (\begin{array}{c} \frac{Z_{2} + Z_{3}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} & - \frac{Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} \\ - \frac{Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} & \frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{1} Z_{2} + Z_{2} Z_{3} + Z_{1} Z_{3}} \end{array}) \end{array} \end{matrix}$

Y行列の性質

Z行列と似ていますが、一部相違点があります。

回路の対称性により、 $y_{12} = y_{21}$
Y行列 $Y_{1}, Y_{2}$ でそれぞれ示される2端子対回路を並列接続した回路におけるZ行列は $Y_{1} + Y_{2}$
Z行列の逆行列 $Z^{- 1}$ はY行列である。

1.について、例題を解いていて気付いたかもしれません。Z行列も同じ性質を持っています。

2.について、Z行列では直列接続時に行列を足し算できました。一方で、Y行列の場合は並列接続時限定です。間違えないようにしましょう。

3.について、(2)式のY行列の逆行列 $Y^{- 1}$ を左からかけるとZ行列の式に一致することから説明できます。問題を解くうえで使用することはあまりないですが、知識として持っておきましょう。

解答例

(1)対称格子回路

例題と同じく解いていきます。

端子2-2’を短絡したとき、回路の合成抵抗を考える。 $Z_{1}$ と $Z_{2}$ の並列インピーダンス

$\begin{matrix} (9) & \begin{array}{r} Z = \frac{Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} \end{array} \end{matrix}$

を2つ直列接続したもの $Z_{t o t a l}$ に等しい。

$\begin{matrix} (10) & \begin{array}{r} Z_{t o t a l} = \frac{2 Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} \end{array} \end{matrix}$

これを用いると、電流 $I_{1}$ と電圧 $V_{1}$ の関係は

$\begin{matrix} (11) & \begin{array}{r} V_{1} = \frac{2 Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} I_{1} \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} (12) & \begin{array}{r} I_{1} = \frac{Z_{1} + Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} V_{1} \end{array} \end{matrix}$

次に、端子2-2’間を流れる電流を考える。分流の考えにより、インピーダンス $Z_{1}$ に流れる電流 $I_{a}$ とインピーダンス $Z_{2}$ に流れる電流 $I_{b}$ は下記で表される。

$\begin{matrix} (13) & {\begin{cases} I_{a} = \frac{Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} I_{1} \\ I_{b} = \frac{Z_{1}}{Z_{1} + Z_{2}} I_{1} \end{cases} \end{matrix}$

端子2-2’間で、 $Z_{1}, Z_{2}$ の接続の対応が変わるので

$\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} I_{2} & = I_{a} - I_{b} \\ = \frac{Z_{1} - Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} I_{1} \\ = \frac{Z_{1} - Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} V_{1} \end{aligned} \end{matrix}$

(12)式、(14)式はそれぞれ $y_{11}, y_{21}$ 成分に対応する。

次に、端子1-1’を短絡したときを考える。回路の対称性により

$\begin{matrix} (15) & \begin{array}{r} y_{11} = y_{22} \\ y_{12} = y_{21} \end{array} \end{matrix}$

以上より、求めるY行列は

$\begin{matrix} (16) & \begin{array}{r} Y = (\begin{array}{c} \frac{Z_{1} + Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} & \frac{Z_{1} - Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} \\ \frac{Z_{1} - Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} & \frac{Z_{1} + Z_{2}}{2 Z_{1} Z_{2}} \end{array}) \end{array} \end{matrix}$

(2)並列接続時

Y行列の性質2.より、(1)の結果を2回足し合わせれば良い。

$\begin{matrix} (17) & \begin{array}{r} Y = (\begin{array}{c} \frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{1} Z_{2}} & \frac{Z_{1} - Z_{2}}{Z_{1} Z_{2}} \\ \frac{Z_{1} - Z_{2}}{Z_{1} Z_{2}} & \frac{Z_{1} + Z_{2}}{Z_{1} Z_{2}} \end{array}) \end{array} \end{matrix}$

最後に

類題が京大の通信情報で出題されたことがあります。知っているだけで満点を狙える内容でしたので、是非ともマスターしましょう。