【電気回路】Y行列の性質とZ行列の関連性

問題

下記の電気回路のY行列を求めよ。

(1)対称格子回路
(2)図1の対称格子回路を2つ並列接続した回路

Y行列とは

二端子対回路において、電流と電圧の入出力関係をアドミタンス行列Y(下記)を用いて表したものです。

(1)(y11y12y21y22)

入出力関係は、下記のように表されます。

(2)(I1I2)=(y11y12y21y22)(V1V2)

Z行列では、左辺が電圧Vでしたが、Y行列は電流になります。アドミタンスですので、分かりやすいですが、対応関係を覚えておきましょう。

Y行列の求め方

  1. 端子2を短絡V2=0し、端子1に電圧源V1を接続したときに回路に流れる電流I1,I2の関係式を求める。
  2. 端子1を短絡I1=0し、端子2に電圧源V1を接続したときに回路に流れる電流I1,I2の関係式を求める。
  3. 1.2.で求めた関係式を用い、y行列の具体的な値を求める。

Z行列の場合は端子を開放していましたが、y行列は短絡です。しかし、それ以外に行う計算は同じです。それぞれの行列形式に合わせて式を変形していくのみです。

例題

下記のT型回路のY行列を考えます。

まず、端子2を短絡したときのY行列を考えます。

電流I1は、Z1を通り、Z2,Z3の並列回路を通ることから

(3)V1=(Z1+Z2Z3Z2+Z3)I1

これを変形することで

(4)I1=Z2+Z3Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3

y11成分に対応する。

また、電流I2は、I1に対しZ2,Z3で分流するから

(5)I2=Z2Z2+Z3=Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3

y21成分に対応する。

次に、端子1-1’を短絡したときのことを考える。

回路の対称性より、(4)式のZ1Z3を入れ替えて

(6)I2=Z1+Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3V2

y22成分に対応する。また、電流I1

(7)I1=Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3

y12成分に対応する。よって、求めるY行列は

(8)Y=(Z2+Z3Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3Z1+Z2Z1Z2+Z2Z3+Z1Z3)

Y行列の性質

Z行列と似ていますが、一部相違点があります。

  1. 回路の対称性により、y12=y21
  2. Y行列Y1,Y2でそれぞれ示される2端子対回路を並列接続した回路におけるZ行列はY1+Y2
  3. Z行列の逆行列Z1はY行列である。

1.について、例題を解いていて気付いたかもしれません。Z行列も同じ性質を持っています。

2.について、Z行列では直列接続時に行列を足し算できました。一方で、Y行列の場合は並列接続時限定です。間違えないようにしましょう。

3.について、(2)式のY行列の逆行列Y1を左からかけるとZ行列の式に一致することから説明できます。問題を解くうえで使用することはあまりないですが、知識として持っておきましょう。

解答例

(1)対称格子回路

例題と同じく解いていきます。

端子2-2’を短絡したとき、回路の合成抵抗を考える。Z1Z2の並列インピーダンス

(9)Z=Z1Z2Z1+Z2

を2つ直列接続したものZtotalに等しい。

(10)Ztotal=2Z1Z2Z1+Z2

これを用いると、電流I1と電圧V1の関係は

(11)V1=2Z1Z2Z1+Z2I1

(12)I1=Z1+Z22Z1Z2V1

次に、端子2-2’間を流れる電流を考える。分流の考えにより、インピーダンスZ1に流れる電流IaとインピーダンスZ2に流れる電流Ibは下記で表される。

(13){Ia=Z2Z1+Z2I1Ib=Z1Z1+Z2I1

端子2-2’間で、Z1,Z2の接続の対応が変わるので

(14)I2=IaIb=Z1Z2Z1+Z2I1=Z1Z22Z1Z2V1

(12)式、(14)式はそれぞれy11,y21成分に対応する。

次に、端子1-1’を短絡したときを考える。回路の対称性により

(15)y11=y22y12=y21

以上より、求めるY行列は

(16)Y=(Z1+Z22Z1Z2Z1Z22Z1Z2Z1Z22Z1Z2Z1+Z22Z1Z2)

(2)並列接続時

Y行列の性質2.より、(1)の結果を2回足し合わせれば良い。

(17)Y=(Z1+Z2Z1Z2Z1Z2Z1Z2Z1Z2Z1Z2Z1+Z2Z1Z2)

最後に

類題が京大の通信情報で出題されたことがあります。知っているだけで満点を狙える内容でしたので、是非ともマスターしましょう。

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