【問題】下記のn*n行列の\(A^{n}\)を求めよ。
\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots &0 & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & \dots &0 & 0 \end{pmatrix}
はじめに
行列のn乗を求めるには、固有値を用いて対角化を行うことが多いです。この方法については、イレギュラーケースも含めてこちら1、こちら2の記事で説明しています。
本問も上記の考え方で解くこともできます。しかし、nをある値にして計算(実験)し、規則性を見つけることで答えを出すことも可能です。また、そのほうが時間がかからないケースもあり、本問がそれに該当します。
ちなみに、本問の行列はパウリ行列と言います。ただ、知らなくても問題ありません。
本記事で身に着けたいこと
- 与えられた行列に規則性がある場合は、手計算で\(A^{n}\)を推測する方が計算に時間がかからない
- パウリ行列を2乗すると、単位行列\(E\)になる。
「規則性」について、条件を明確に言語化することが難しいです。しかし、本問のようにある要素の転置成分のみ1で他は0になっている場合。上三角行列の場合、などは実験してみる価値ありです。
パウリ行列の話について、後述する解答例のネタバレと化していますが、実験してみると上記になることが分かります。実際に次の章で行ってみます。
実験から推測できる事実と解答例
実験
まず、2*2行列\(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)を考えます。
このとき、\(A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E\)で、確かに単位行列であることが分かりました。
続いて、3*3行列\(A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)でも試してみます。
このとき、\(A^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=E\)で、同様に単位行列になることが分かりました。
結局、Aのある要素(i,j)が1の場合、その転置成分(j,i)も1になっていることが分かります。この計算が発生する場合のみ1が立つことが分かります。この計算が発生する条件が、\(A^{2}\)の対角成分を求めるときにのみ発生します。こちらに気づくかどうかがポイントになります。・・・(*)
解答例
前節の(*)の考察から、任意のn次行列の2乗は単位行列\(E\)となる。
このことから、\(A^{3}=A^{2}A=EA=A\)、\(A^{4}=A^{2}A^{2}=EE=E\)になる。
よって、\(n=2k-1 (k=1,2,…)\) nが奇数のとき、\(A^{n}=A^{2k}A=A\)
\(A^{n}\)のnが偶数のとき、\(A^{n}=A^{2k}=E\)になることが分かる。
最後に
本問は、固有値を\(\lambda\)から式変形して求めようとすると、計算に時間がかかります。(行基本変形次第では上手い計算があるかもしれませんが･･･)
与えられた行列に規則性が見受けられないときは、素直に対角化を考えたほうが良いです。しかし、本問のように特徴的な行列を扱う場合は、実験してみるとそのほうが早いかもしれません。
参考文献
