複素積分の考え方を用いた対数関数(log)の積分問題

数学

2026.04.27

問題

以下の積分値を複素積分の考え方を用いて求めよ。なお、下図で指定した積分路を用いよ。
\begin{align}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\log x}{x^{4}+1}dx\end{align}

はじめに

本問は、複素積分で出てくる問題の中で難しい部類だと思います。院試レベルです。分子にlogが乗った関数の積分で、色々な例題がネットに載っています。しかし、標記の形は検索で引っかからなかったので、新規性の観点で説明していきます。

本問で覚えたいこと

$z=Re^{i \theta}$型に変数を置き換えて、線路ごとに変数$R$または$\theta$を動かす。
留数定理により、閉路全体の積分値を求める。
円弧積分路$C_{R},C_{r}$は0に収束することを示す。
線路$C_{1},C_{2}$の実部に注目し、留数定理を用いて解く

結局、他の記事で紹介している例題のように、円弧成分は0に収束することを示します。その上で、実軸上の積分値を留数定理の結果も用いて式変形していく方針になります。

ただ、log型関数の特徴として

\begin{eqnarray}\log (z)=\log (R e^{i \theta})=\log (R)+i \theta\end{eqnarray}

に変形できる事実は使用します。このように分解することで、虚軸成分の無い線路は、右辺の第2項が0になり計算が簡単になります。

解答例

変数の置き換え

\begin{align}\int ^{\infty }_{0}f(z)dz\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\log z}{z^{4}+1}dz\end{align}と置く。$z=Re^{i \theta}$とし、積分路ごとの値を考えていく。

留数定理により、閉路全体の積分値を求める

閉路内の孤立特異点は、$e^{i\frac{\pi}{4}},e^{i\frac{3\pi}{4}}$

求める留数は、

\begin{aligned} Res_{z=e^{i\frac{\pi }{4}}}f\left( z\right) =\dfrac{\log z}{4z^{3}}|_ {z=e^{i\frac{\pi }{4}}}\\ =i\dfrac{\pi }{16}e^{i\frac{3}{4}\pi }\\ =\dfrac{\pi \left( 1-i\right) }{16\sqrt{2}}\end{aligned}

\begin{aligned} Res_{z=e^{i\frac{3\pi }{4}}}f\left( z\right) =\dfrac{\log z}{4z^{3}}|_ {z=e^{i\frac{3\pi }{4}}}\\ =\dfrac{3\pi \left( 1+i\right) }{16\sqrt{2}}\end{aligned}

コーシーの積分定理より、

\begin{aligned}\int _{C_{1}+C_{2}+C_{2}+C_{r}}f\left( z\right) dc &= 2\pi i \left \lbrace \dfrac{\pi \left( 1-i\right) }{16\sqrt{2}} + \dfrac{3\pi \left( 1+i\right) }{16\sqrt{2}}\right \rbrace \\ &= -\dfrac{\pi^{2}}{4√2}+i\dfrac{\pi }{2\sqrt{2}}\end{aligned}