複素積分を利用したフレネル積分の求値問題

問題

下記の関数を複素積分の考え方を用いて求めよ。ただし、\(\sin 2\theta≧\frac{4 \theta}{\pi}\)とし、(2)式を利用して良い。積分路は、下図を使用すること。
\begin{eqnarray}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}dx \\ \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\end{eqnarray}

はじめに
この記事で覚えてほしいこと
解答例
補足

はじめに

本問の積分、最初に見るとなんのこっちゃ。。。と思います。(少なくとも管理人はそうでした。)

分子が三角関数で、分母に√が付いており一癖ありそうです。

うまく変数変換してやることで、分母の√を消去することができます。その結果、積分対象の関数が\(\cos(x^{2})\)型になります。これをフレネル積分と言います。

九大、東北大の院試で登場したことがあります。また、知っている方からすると有名な問題だそうです。積分経路からも類題を経験していると全然違います。本記事が対策の一端になると幸いです。

この記事で覚えてほしいこと

\(\sqrt{x}=z\)と置き、積分対象の関数を三角関数型\(\cos(x^{2})\)に変換する。
\(exp(-iz^{2})\)型の積分を与えられた閉路\( C_{1} , C_{2} , C_{3}\)を用いて行う。
積分結果の実部が与えられた結果にあたる。

１．については置換積分です。高校数学で行う内容ですので、解答例で説明していきます。

２．がキーポイントです。以前の記事で、三角関数型の積分はexp項を用いて行い、結果の実部、虚部から題意に応じて求めたい値を抽出する。とお話ししました。

本問も同様の手法を用います。ただし、線路\(C_{3}\)の位相が\(\frac{\pi}{4}\)であること。他の複素積分の問題のように、線路\(C_{2}\)分の積分は0に収束しますが、その式の評価が大変。など、式の計算に一苦労あります。

是非、下の解答例を見ながらご自身の手でも計算下さると幸いです。

解答例

積分対象の関数の変数変換

\(\sqrt {x}=z\)とすると、\(dx=2 \sqrt{x} dz\)で、積分範囲は変わらず0→∞

以下のように変形できる。

\begin{aligned}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}dx=\int _{0}^{\infty }\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}2\sqrt{x}\cdot dz =2\int _{0}^{\infty }\cos z^{2}dz\end{aligned}

閉路内に留数は無いため、

\begin{aligned}\int _{C_{1}+c_{2+}c_{3}}e^{iz^{2}}dz=0\\ \int _{C_{1}}e^{iz^{2}}dz=-\int _{c_{2}+c_{3}}e^{iz^{2}}dz\end{aligned}

\(\exp(-iz^{2})\)型の積分閉路\(C_{1}\)分

閉路\(C_{1}\)分は、\(\theta=0\)のため

\begin{eqnarray}\int _{C_{1}}e^{iz^{2}}dz=\int _{0}^{\infty }\cos z^{2}dz+i\int _{0}^{\infty }\sin z^{2}dz\end{eqnarray}

と変形できる。

\(\exp(-iz^{2})\)型の積分閉路\(C_{2}\)分

\(z=Re^{i \theta}\)とすると、\(dz=Rie^{i \theta} d\theta\)のため、下記のように変形できる。

\begin{align}\int _{C_{2}}f\left( z\right) dz=\int ^{\frac{\pi }{4}}_{0}e^{iR^{2}e^{2i\theta }}Rie^{i\theta }d\theta \end{align}

\(\left| \int f\left( z\right) dz\right| \leqq \int \left| f\left( z\right) \right| dz\)より、\(e^{i\theta}\)及び虚数\(i\)を1として

\begin{align}\left( 7\right) \leqq \int ^{\frac{\pi }{4}}_{0}e^{\left( -R^{2}\sin 2\theta \right) }\cdot Rd\theta \end{align}

題意より、\(\sin 2\theta≧\frac{4 \theta}{\pi}\)なので

\begin{align}\left( 8\right) &\leqq \int _{0}^{\frac{\pi }{4}}e^{\left( -R^{2}\cdot \frac{4\theta }{\pi }\right) }d\theta \\ &=-\dfrac{\pi }{4R}\left( e^{-R^{2}}-1\right) \end{align}

R→∞の極限を考えると、(分子)→(有限値)、(分母)→∞になるので、(8)式は0に収束する

\begin{align}\int _{C_{2}}f\left( z\right) dz\rightarrow 0\end{align}

\(\exp(-iz^{2})\)型の積分閉路\(C_{3}\)分

\(\int _{C_{3}}e^{iz^{2}} dz\)について、\(z=Re^{\frac{\pi}{4}i}\)とすると、\(dz=e^{\frac{\pi}{4}i}dR, \quad z^2=iR^{2}\)

これより、以下の式に変形できる。

\begin{eqnarray}e^{\frac{\pi}{4}i}\int ^{0}_{\infty }e^{-R^{2}}dR \\ =-\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}

最終的な積分結果

(4)式に(6),(11),(13)を代入すると、以下の式を得る。

\begin{eqnarray}\int _{0}^{\infty }\cos z^{2}dz+i\int _{0}^{\infty }\sin z^{2}dz=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray}

実部を比較することで

\begin{eqnarray}\int _{0}^{\infty }\cos z^{2}dz = \dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\end{eqnarray}

が分かる。(3)式より、題意で求められている結果は

\begin{eqnarray} \int ^{\infty }_{0}\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}dx = 2\int _{0}^{\infty }\cos x^{2}dx =2*\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \end{eqnarray}