- はじめに
- 複素積分の型
- ①有理関数 \(\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{1}{x^{4}+1}dx\)など、三角関数や対数が無いもの
- ②奇関数の積分 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{x}{x^{3}+1}dx\) など
- ③三角関数型 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{\cos x}{x^{2}+1}dx\) など
- ④フレネル積分型 \(\int ^{\infty }_{0}\sin ^{2}xdx\)
- ⑤べき(exp)を含む積分 \(\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{e^{ax}}{e^{x}+1}dx\) など
- ⑥対数関数(log)を含む積分 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{\log x}{x^{2}+1}dx\) など
はじめに
本記事は、問題形式での紹介ではありません。
筆者が電気情報系の院試問題を解いてきて、よく出ると感じた複素積分の問題について紹介していきます。
被積分関数をf(x)とおき、「f(x) 積分」でググると、それに対する答え、ヒントは確かに出てきます。ですが、結局何パターンあって、どういう解き方をするのか、まとまっているサイトは少ないと感じました。
院試対策の参考になると幸いです。
前提
ジョルダンの補助定理を用いて、実数値の積分\(\int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) dx\)を求めるタイプの問題を紹介していきます。
このため、下記の問題については紹介対象外となっています。
- 単に留数を求める問題
- ある有限の円弧積分路を考え、コーシーの積分定理を利用して積分値を求める問題(結果に虚数が出る)
複素積分の型
①有理関数 \(\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{1}{x^{4}+1}dx\)など、三角関数や対数が無いもの
本問が最もオーソドックスです。積分路としても、半円を取ることが多いです。院試でもそこそこ出題されます。下記の記事でも紹介しているので、類題経験の無い方はご覧ください。
②奇関数の積分 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{x}{x^{3}+1}dx\) など
①と同じように閉路をとっても解けるかもしれませんが、半円型だと留数が多く入ってしまいます。計算が面倒になってしまうので、よく扇形の閉路を取り、解くことが特徴な問題となっています。
本サイトでも扱おうとしたのですが、下記に素晴らしい動画がありました。こちらを参考に勉強を進めていくと良いと思います。
③三角関数型 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{\cos x}{x^{2}+1}dx\) など
本問が分量、難易度ともに丁度良いと考えています。exp項に置き換えて積分し、結果の実部/虚部を採用する方法を良く用います。下記の記事でも紹介しています。よろしければご覧ください。
④フレネル積分型 \(\int ^{\infty }_{0}\sin ^{2}xdx\)
本問から難易度が上がります。類題経験がモノを言います。
⑤べき(exp)を含む積分 \(\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{e^{ax}}{e^{x}+1}dx\) など
本サイトでは紹介していませんが、こちらも院試で出題されることがあります。積分路を長方形に取ることが特徴です。
②と同じになりますが、下記に素晴らしい解説動画があります。是非ともご覧頂ければと思います。
⑥対数関数(log)を含む積分 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{\log x}{x^{2}+1}dx\) など
原点を通らないように閉路を取ることが特徴です。他サイトでも解説されていますが、本サイトでも下記のページで紹介しています。分母が4乗になっており、あまり見ない関数の型のはずです。よろしければご覧頂けると嬉しいです。
最後に
本記事では、良く出る複素積分のタイプ6選を説明しました。
他にもあるかもしれませんが、本記事のようなカテゴリー分けをベースに類題経験を積んでいくと体系的な理解になっていくと思います。
ここで説明しきれなかった積分が出てくることによって試験で得点できなかった場合の責任は取れないのでご了承ください。
参考文献
工学系の数学解析：八木 厚志(著),森田 浩(著) 大阪大学出版会
