図1は平衡状態にある半導体pn接合のエネルギーバンド図を示している。\(x\)軸は接合界面に垂直であり、伝導帯底および価電子帯頂上における電子のエネルギーはそれぞれ\(E_{c}(x),E_{v}(x)\)で表される。半導体の禁制帯幅\(E_{G}\)、伝導帯の有効状態密度\(N_{c}\)および価電子帯の有効状態密度\(N_{V}\)は位置によらず一定である。温度は\(T\)、フェルミ準位は\(E_{F}\)、ボルツマン定数は\(k_{B}\)、素電荷は\(q\)である。以下の問いに答えよ。
(1)位置\(x\)における電子密度\(n(x)\)を表す式を示せ。
半導体中における電子の拡散係数を\(D_{e}\)、ドリフト移動度を\(\mu_{e}\)とする。
(2)位置\(x\)において電子の拡散に伴う電流密度を求めよ。
東北大学 電気情報系院試 2020/3月 電子工学より抜粋 一部の問題を省略
(3)位置\(x\)において電子のドリフトに伴う電流密度を求めよ。
(4)\(D_{e}\)と\(\mu_{e}\)の間に成り立つ関係式を求めよ。
拡散電流とドリフト電流の違い
過去の記事で詳しく解説していますが、ここでも簡潔に説明します。
拡散電流とは
キャリア濃度に分布があるとき、その濃度差を埋めるように流れる電流です。電流値は、濃度勾配に比例し、下記の式で表すことができます。
\begin{aligned}I_{D}=-qD_{e}\dfrac{dn(x)}{dx}\end{aligned}
ドリフト電流とは
電場によって電子が動く現象を意味しています。電磁気学でよくある荷電粒子の運動の半導体バージョンですね。
下記の式で表すことができます。
\begin{aligned}I_{\mu}=qn(x)\mu_{e}E\end{aligned}
電界とドリフト電流の関係
上式だけ見ると、無制限に電場\(E\)を大きくすれば、それだけ移動度が上がるように見えます。
しかし、実際はそうなりません。
電場を大きくすると、電子の速度は大きくなりますが、その分半導体結晶中の格子と衝突する時間が短くなります。
よって、電場を大きくすると、衝突によりエネルギー損失が大きくなるので、思ったより速度は大きくなりません。
解答例
(1)電子密度
過去の記事より
\begin{aligned}n(x)=N_{c}\exp \left( -\dfrac{E_{c}\left( x\right) -E_{f}}{k_{B}T}\right)\end{aligned}
※初見だったとしても、上記の式は暗記しておかなければなりません。伝導帯の底にフェルミ準位を引いてexpを取る。Ncを乗する。と覚えましょう。
(2)拡散電流の式
前章より、拡散電流密度は(1)式で表すことができる。これを変形し
\begin{aligned}i_{D}=-qD_{e}\dfrac{dn\left( x\right) }{dx}=-qD_{e}\dfrac{dV(x) }{dx}\dfrac{dn\left( x\right) }{dV \left( x\right) }\end{aligned}
(3)式について、\(E_{c}(x)=qV_{c},E_{f}=qV_{f}(x)\)なので
\begin{aligned}i_{D}=-\dfrac{q^{2} D_{e}}{k_{B}T}n(x)\dfrac{dV(x)}{dx}\end{aligned}
(3)ドリフト電流の式
(2)式より
\begin{aligned}i_{\mu}=q\mu_{e}n(x)E\end{aligned}
\(E=-\dfrac{dV(x)}{dx}\)をこれに代入して
\begin{aligned}i_{\mu}=-q\mu_{e}n(x)\dfrac{dV(x)}{dx}\end{aligned}
(4)拡散電流とドリフト電流から導かれる関係式
平衡状態のとき、(5)=(7)なので
\begin{aligned}\dfrac{qD_{e}}{k_{B}T}=\mu_{e} \\ D_{e}=\dfrac{\mu_{e}k_{B}T}{q}\end{aligned}
これをアインシュタインの関係式と言います。
最後に
本問は、意外と院試で出題されたりします。平衡状態では、拡散電流とドリフト電流が等しいことがキーですので、与えられた文字を駆使して計算練習していきましょう。
