【電気回路】F行列の性質とは？例題を用いて解説

F行列とは

二端子対回路の一方の端子で発生する電圧$V_1$、電流$I_1$をもう一方の端子で発生する電圧$V_2,I_2$を用いて下記で表したものになります。(継続行列(K行列)、伝送行列とも呼びます。)

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ I_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{11}& f_{12}\\ f_{21}& f_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_2\\ I_2\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

左辺は$V_1,I_1$で表されています。右辺の未知数$V_2,I_2$が求まれば、比を取ることでインピーダンス$Z_1$を簡単に求めることができます。

F行列は(Fundamental matrix)の略です。上記の利点から、昔は電気回路を解くために盛んに使われていました。このため、”Fundamental”(基本的)という呼び名となっています。

F行列を求めるための操作

Z行列、Y行列は、端子1-1’も開放したり、短絡したりしましたが、F行列に関しては端子2-2’のみ対応します。(1)式の右辺のパラメータに$V_2,I_2$がありますが、それぞれに0を代入し、パラメータを求めやすくする。ということですね。

なお、電流$I_2$の向きは回路から離れる方向を正と置きます。これは、Z行列、Y行列と逆です。注意しましょう。

例題

上記の変圧器結合回路のF行列を考えます。回路方程式は

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}{V}_1=j\omega L_1{I}_1-j\omega M{I}_2\\ V_2=j\omega M{I}_1-j\omega L_2{I}_2\end{array}\end{array}$$

第2式を変形すると

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{I}_1={\displaystyle \frac{1}{j\omega M}}{V}_2+{\displaystyle \frac{L_2}{M}}{I}_2\end{array}\end{array}$$

これが$f_{21},f_{22}$成分に対応する。

(3)式を(2)の第一式に代入すると

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}{V}_1& =j\omega L_1({\displaystyle \frac{V_2}{j\omega M}}+{\displaystyle \frac{L_2}{M}}{I}_2)-j\omega M{I}_2\\ & ={\displaystyle \frac{L_1}{M}}{V}_2+j\omega {\displaystyle \frac{L_1{L}_2}{M}}{I}_2-j\omega M{I}_2\end{array}\end{array}$$

これが$f_{11},f_{12}$に対応する。以上より、求めるF行列は

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{L_1}{M}}& j\omega {\displaystyle \frac{L_1{L}_2}{M}}-j\omega M\\ {\displaystyle \frac{1}{j\omega M}}& {\displaystyle \frac{L_2}{M}}\end{array}\right)\end{array}$$

F行列の性質

1.について、一応紹介しました。ざっくり申し上げて、端子1-1′,2-2’どちらから見ても回路が対称のときに成立します。ただ、問題を解くうえでは補助的なものになります。前節で申し上げた手順に則って解いた方が早いです。検算程度に使えます。

2.について、Z行列、Y行列がそうであったように、F行列においても既知の行列の組み合わせで回路全体のF行列を表現できます。

ただし、Z行列、Y行列は、足し算で表現できたのに対し、F行列は積で考えます。ここだけは混同しないようにしましょう。

解答例

理想変成器結合回路のF行列

回路は下記の素子4つで構成されている。

上から順に、F行列を${\mathit{F}}_{\mathbf{1}},{\mathit{F}}_{\mathbf{2}},{\mathit{F}}_{\mathbf{3}},{\mathit{F}}_{\mathbf{4}}$とする。

このとき、F行列の性質2.により、回路全体のF行列$\mathit{F}$は

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}\mathit{F}={\mathit{F}}_{\mathbf{1}}{\mathit{F}}_{\mathbf{2}}{\mathit{F}}_{\mathbf{3}}{\mathit{F}}_{\mathbf{4}}\end{array}\end{array}$$

で表される。よって、1~4の行列を個々に求めていけば良い。

行列${\mathit{F}}_{\mathbf{1}},{\mathit{F}}_{\mathbf{3}}$

まず、行列${\mathit{F}}_{\mathbf{1}}$について、回路方程式を考える。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{l}{I}_1=n{I}_2\\ V_2=n{V}_1\end{array}\end{array}$$

これを(1)式と比較すると、

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{\mathit{F}}_{\mathbf{1}}=\left(\begin{array}{cc}1/n_1& 0\\ 0& n_1\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

行列${\mathit{F}}_{\mathbf{3}}$も同じ形状をしているので

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}{\mathit{F}}_{\mathbf{3}}=\left(\begin{array}{cc}1/n_2& 0\\ 0& n_2\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

行列${\mathit{F}}_{\mathbf{2}}$

回路方程式は下記で表される。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}{V}_1=V_2+n{I}_1\\ I_1=I_2\end{array}\end{array}$$

以上より、F行列は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}{\mathit{F}}_{\mathbf{2}}=\left(\begin{array}{cc}1& Z_1\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

行列${\mathit{F}}_{\mathbf{4}}$

同じく、回路方程式は

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \{\begin{array}{l}{V}_1=V_2\\ I_1={\displaystyle \frac{V_2}{Z_2}}+I_2\end{array}\end{array}$$

以上より、F行列は

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}{\mathit{F}}_{\mathbf{4}}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/Z_1& 1\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

回路全体のF行列

(8)(9)(11)(13)式を(6)式に代入すると

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{rl}\mathit{F}& =\left(\begin{array}{cc}1/n_1& 0\\ 0& n_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& Z_1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1/n_2& 0\\ 0& n_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1/Z_1& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n_1{n}_2}}+{\displaystyle \frac{n_2{Z}_1}{n_1{Z}_2}}& {\displaystyle \frac{n_2{Z}_1}{n_1}}\\ {\displaystyle \frac{n_1{n}_2}{Z_2}}& n_1{n}_2\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

最後に

Z行列、Y行列など紹介してきましたが、院試で最も出やすいのはF行列になります。最優先で対策しましょう。