ブロッホの定理の性質と周期ポテンシャルにおける波動関数の計算問題

ブロッホの定理とは

周期$\boldsymbol{T}$を持つポテンシャル内の波動関数$\psi(\boldsymbol{r})$は下記のように記載可能なルールを言います。$u(\boldsymbol{r})$は結晶と同じ周期性を持つ関数とすると、下記の関係になります。

\begin{cases}\psi(\boldsymbol{r})=e^{i \boldsymbol{k} ･\boldsymbol{r}}u(\boldsymbol{r}) \\ u(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{T})=u(\boldsymbol{r})\end{cases}

つまり、周期ポテンシャル内のある地点$\boldsymbol{r}$の波動関数は、周期$\boldsymbol{T}$足した地点での波動関数とも等しいことを示しています。本問では、ポテンシャル関数の三角関数項を$\exp$項に分解し、本定理の適用を考えます。

なお、位置ベクトル$\boldsymbol{r}$で説明をしましたが、結晶中の波の場合、逆格子ベクトル$\boldsymbol{G}$を用いると、下記の関係でも表されます。

\begin{aligned}e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G})･\boldsymbol{r}}=e^{i \boldsymbol{k}･\boldsymbol{r}}\end{aligned}

解答例

与えられたポテンシャルは下記のように変形できる。

\begin{aligned}
U(x,y))&=-4U_{o}\cos\left(\frac{2 \pi x}{a}\right)\cos\left (\frac{2 \pi y}{a}\right)\\ &=-U_{o}\left \lbrace \exp \left(i \frac{2 \pi(x+y)}{a}\right) +\exp \left(-i \frac{2 \pi(x+y)}{a}\right) \right. \\
&\left. +\exp \left(i \frac{2 \pi(x-y)}{a}\right)+\exp \left(-i \frac{2 \pi(x-y)}{a}\right) \right \rbrace
\end{aligned}

定数$C(k)$を考え、波動関数$\psi(k)$を下記のように置く。逆格子ベクトルを$\boldsymbol{G}$と置き、原点(0,0)を結晶格子の中心とすると、$±\frac{1}{2}G=(±\frac{\pi}{a},±\frac{\pi}{a})$で一周期になる。ブロッホの定理より

\begin{aligned}U(\boldsymbol{r})=\sum_{G}U_{G} \exp(i \boldsymbol{G}･\boldsymbol{r})\\ \psi(k)=\sum_{k}C(k)\exp(i \boldsymbol{k}･\boldsymbol{r})\end{aligned}

をシュレーディンガー方程式に代入して

\begin{aligned}\left\lbrack -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(\mathbf{r}) \right\rbrack \psi(\mathbf{r}) = \varepsilon \psi(\mathbf{r})\end{aligned}

\begin{aligned}(\lambda-\varepsilon)C(k)+\sum_{G}U_{G}C(k-G)=0\end{aligned}

\begin{cases}(\lambda – \varepsilon)C(\frac{1}{2}G)-U_{o}C(-\frac{1}{2}G)=0 \\ -U_{o}C(\frac{1}{2}G)+(\lambda – \varepsilon)C(-\frac{1}{2}G)=0 \end{cases}

ただし、$\varepsilon$はエネルギー固有値で、$\lambda=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$である。
$C(\frac{1}{2}G)=C(-\frac{1}{2}G)=0$以外の解を持つためには、係数に関わる行列式が0になれば良い。

\begin{aligned}\begin{vmatrix}\lambda -\varepsilon & -U_{o} \\ -U_{o} & \lambda-\varepsilon\end{vmatrix}=0\end{aligned}

\begin{aligned}(\lambda-\varepsilon)^{2}-U_{o}^{2}=0\end{aligned}

$\lambda=\varepsilon ± U_{o}$で、二つの$\lambda$の差は$2U_{o}$。よって求めるエネルギーギャップは$2U_{o}$

補足

原点を中心とし、格子ベクトル$-\frac{1}{2}\boldsymbol{G}$から$\frac{1}{2}\boldsymbol{G}$の間の領域を第一ブリュアン帯と言います。結晶格子の周期性により、$\frac{1}{2}\boldsymbol{G}$から$\frac{3}{2}\boldsymbol{G}$も第一ブリュアン帯と同じ特性を示します。領域だけ異なるので第二ブリュアン帯と言い、原点から離れていくにつれ、第三、第四と続いていきます。

本問では、第一ブリュアン帯におけるエネルギーギャップを考えましたが、一般的に下記のように表されることが分かっています。