【例題付き】合成インピーダンス、アドミタンスの公式と最適な使い方

問題

下記の回路1,2の端子A-Bに交流電圧源を印可したい。端子Aから出力される電流の位相が交流電圧源の基準位相と一致する角周波数の条件を求めよ。
なお、回路を合成する際は、合成インピーダンス、アドミタンス、どちらで行っても良い。ただし、$ L \neq CR^{2}$とする。

はじめに
回路の合成
解答例
1. 問1 回路1が周波数に無関係になる条件
2. 問2 回路2が周波数に無関係になる条件
最後に

はじめに

過去の電気回路の記事では、様々な内容を扱ってきました。共振周波数の求め方から、二端子対回路の行列計算まで、電気回路で勉強する分野を概ね網羅できたと考えています。

しかし、過去の記事を説明していく上で要求した前提知識は、初学者の方からすると大分厳しい内容だったと思います。特に、複雑な電気回路を扱うことが多かったですが、その時に用いた回路の合成、分流の計算は説明無しに複雑な数式を用いることが多々ありました。

そこで、本記事では初心に戻り、回路を構成するインピーダンス、アドミタンスの合成方法の説明をします。院試では、問1で良く問われがちな内容です。インピーダンスから攻めるか、アドミタンスから攻めるかの2択により、後段の問題(共振周波数の算出など)の計算難易度が変わることがあります。どちらを選択した方が計算が楽になるのか、筆者の経験からまとめてみました。是非ともご覧ください。

回路の合成

問題を解く前に、インピーダンス、アドミタンスの定義および合成公式の説明をします。その上で、問題を解く際にどちらを使用した方が良いか、筆者の知見を述べます。

インピーダンスとは

交流回路における電流の流れにくさを表した量になります。抵抗成分を$R$、コイル、コンデンサを初めとするリアクタンス(虚部)成分を$jX$とすると、下記で表されます。

\begin{aligned}Z=R+jX\end{aligned}

次に、インピーダンス1：$Z_1=R_1+jX_1$と、
インピーダンス2：$Z_2=R_2+jX_2$

の合成を考えます。

合成インピーダンスの公式

直列接続時：そのまま足し合わせる
\begin{aligned}Z&=Z_1+Z_2 \\ &=(R_1+R_2)+j(X_1+X_2)\end{aligned}
並列接続時：逆数を足し合わせた結果の逆数を取る
\begin{aligned}\dfrac{1}{Z}=\dfrac{1}{Z_1}+\dfrac{1}{Z_2}\end{aligned}
上式を整理し、下記の計算式で合成することが多い。
\begin{aligned}Z=\dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}\end{aligned}

なお、並列回路素子が3つ$(Z_1,Z_2,Z_3)$になった時は、下記の式で表されます。

\begin{aligned}Z=\dfrac{Z_1Z_2Z_3}{Z_1Z_2+Z_2Z_3+Z_1Z_3}\end{aligned}

上記公式の解釈

電流の流れに注目すれば分かりやすいです。

直列接続時：
インピーダンス$Z_1,Z_2$に流れる電流$I$が共通のため、オームの法則を用いると
\begin{aligned}V=I(Z_1+Z_2)\end{aligned}

並列接続時：
電圧$V$が共通で、電流は$Z_1,Z_2$へ分流する。
$I_1=\frac{V}{Z_1},I_2=\frac{V}{Z_2}$と、全電流$I=I_1+I_2$により
\begin{aligned}I=\frac{V}{Z_1}+\frac{V}{Z_2}\end{aligned}
合成インピーダンスは$I=V/Z$により、上式に代入すると(3)式を得る。

※インピーダンスに対しての関係をお話ししましたが、(虚部)=0、(実部)=0をそれぞれ考えると、抵抗、リアクタンスの合成公式も導けます。

アドミタンスとは

インピーダンスの逆数を取ったものです。$Y=1/Z$で表すことができます。
インピーダンスを用いた(1)式に対し、下記の式で表されます。

\begin{aligned}Y=\dfrac{1}{R+jX}\end{aligned}

この関係から、インピーダンスを直列接続、並列接続した時の合成アドミタンスは、それぞれ下記で表されます。

合成アドミタンスの公式

直列接続時：インピーダンスを足し合わせた結果の逆数を取る
\begin{aligned}Y&=\dfrac{1}{Z_1+Z_2} \\ &=\dfrac{1}{(R_1+R_2)+j(X_1+X_2)}\end{aligned}
並列接続時：アドミタンス同士を足し合わせる
\begin{aligned}Y=Y_1+Y_2\end{aligned}

直列接続時、並列接続時それぞれの関係式において、合成インピーダンスと逆の関係になることが分かりました。このことから、回路が並列で与えられたときはアドミタンスを使用すると簡単に計算できることが予想できます。

(7)式、(8)式それぞれの証明は、(4)式、(5)式の逆数を取り、$I=YV$の関係式になるように整理すると導出できます。

結局、合成インピーダンス、アドミタンスどちらで考えれば良いのか？

ここからが本題です。本記事の最初で出した問題を解くうえで、下記の手順を用います。

解法の方針

回路全体の合成インピーダンス、またはアドミタンスを計算し、角周波数$\omega$を持つ項とそれ以外の項で分ける。
$\omega$を持つ項に対し、=0になる関係式を求める。

既修者からすると当たり前のことかもしれないですが、1.の計算はセンスが出ます。インピーダンスで計算すると複雑になるが、アドミタンスで計算すると意外と楽になるケースもよくあります。

問題集では、インピーダンス、アドミタンスの計算を最適な選択で解説無く始めていることが多いですが、筆者としては下記の観点で使い分けています。

インピーダンス、アドミタンスの合成式の使い分け

回路の並列数で考える。

直列に合成する要素があり、並列回路数が2つまで：合成インピーダンスを使用(回路1)
それ以外：合成アドミタンス(回路2)

基本的には上記の基準で判別していけば良いと考えています。並列数が2つまでならば、合成インピーダンスの計算公式 (4)式はそこまで複雑にならないからです。院試でも、問題で与えたような回路が多く出題されるため、基本的には合成インピーダンスを使用することが多いです。

一方で、並列数が3以上になった時は、アドミタンスで考えた方が良いと考えます。(5)式の計算を実部、虚部に分けて行うことは計算ミスしやすいです。下手をすれば、計算するだけで試験時間が終わってしまいます。アドミタンスを使用すれば、各並列回路に存在する素子を独立して計算できますので、問題を解くうえで有利です。

解答例

問1 回路1が周波数に無関係になる条件

まず、青網線部の合成インピーダンス$Z_1$を求める。式(4)により

\begin{aligned}Z_1 &= \frac{(R + \frac{1}{j\omega C})(R + j\omega L)}{(R + \frac{1}{j\omega C}) + (R + j\omega L)} \\ &= \dfrac{R^{2}+\frac{L}{C}+jR(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{2R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}\end{aligned}

結局、回路全体の合成インピーダンス$Z$は

\begin{aligned}Z=R+\dfrac{R^{2}+\frac{L}{C}+jR(\omega L-\frac{1}{\omega C})}{2R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}\end{aligned}

第2項の虚部が0になれば良いので、

\begin{gathered}\omega L -\dfrac{1}{\omega C}=0 \\ \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\end{gathered}

※本問をアドミタンスを用いて解こうとすると、下記式になります。

\begin{aligned} Y = \dfrac{1}{ R + \dfrac{ \left(R + \dfrac{1}{j\omega C}\right) \left(R + j\omega L\right) }{ \left(R + \dfrac{1}{j\omega C}\right) + \left(R + j\omega L\right) } } \end{aligned}

解けないことは無いですが、結局合成インピーダンスと同じ計算を分母で行う必要があります。いたずらに式が難しくなるため、合成インピーダンスの方が解きやすいことが分かりました。

問2 回路2が周波数に無関係になる条件

使い分けで説明したように、アドミタンスで考えていく。

左から順に、アドミタンス$Y_1,Y_2,Y_3$を考える。
このときの合成アドミタンス$Y$は、

\begin{aligned} Y &= Y_1 + Y_2 + Y_3 \\ &= \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R – j\frac{1}{\omega C}} + \dfrac{1}{R + j\omega L} \\ &= \dfrac{1}{R} + \dfrac{R + j\frac{1}{\omega C}}{R^{2} + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}} + \dfrac{R – j\omega L}{R^{2} + \omega^{2} L^{2}} \end{aligned}

これの虚部が0の時、電圧源の位相と一致するため

\begin{aligned}Im(Y) &= \frac{\frac{1}{\omega C}}{R^{2} + \frac{1}{\omega^{2} C^{2}}} – \frac{\omega L}{R^{2} + \omega^{2} L^{2}}\\ &=0\end{aligned}

\begin{gathered}
\frac{\frac{1}{\omega C}}{R^2 + \frac{1}{\omega^2 C^2}}
=
\frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}
\\
\omega C (R^2 + \omega^2 L^2)
=
\omega L (\omega^2 C^2 R^2 + 1)
\\
\omega^2 LC ( L – C R^2)
+
(C R^2 – L)
=
0
\end{gathered}

これをまとめて、$L \neq CR^{2}$により

\begin{aligned}(\omega^{2}LC-1)(L-CR^{2})=0\end{aligned}

\begin{aligned}\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\end{aligned}

本問をインピーダンスを用いて解こうとすると、式(5)を使用する必要があります。分子は並列回路の各インピーダンスの積を取る必要があり、見るからに計算したくないですね。

もちろん、並列回路の一番左は抵抗Rしか無いため、真ん中と右だけの合成インピーダンスを考えれば良いなどの工夫で計算は少しマシになります。ただ、アドミタンスを使用すれば、そういった物理的な判断自体が不要で、虚部が出ないように数学的に処理するだけで済みます。