RLC並列回路、直列回路に流れる電流の瞬時値

瞬時値の求め方

下記2つの方法があります。回路方程式の取り扱いが変わります。

交流回路の場合、フェーザ表示で解くことが一般的ですが、それをせずとも1.の方法で微分方程式をそのまま解くことができます。

RLCそれぞれの素子を流れる電流

抵抗の場合は、オームの法則により$I=V/R$を考えれば良く、簡単に求まります。

コイルの場合は、誘導起電力の式を電流を左辺に移した式変形をすると求まります。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}V=L{\displaystyle \frac{d{I}_L}{dt}}\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d{I}_L}{dt}}& ={\displaystyle \frac{V}{L}}\\ I_L& ={\displaystyle \frac{1}{L}}\int Vdt\end{array}\end{array}$$

今回の電気回路では、(2)式のVに電源電圧を代入し、積分することで求まります。

次にコンデンサの場合です。電磁気学でよく用いる$Q=CV$の関係式を考えます。$Q=\int I_{c}dt$であるので、これをtで微分すると

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{I}_c=C{\displaystyle \frac{dV}{dt}}\end{array}\end{array}$$

が得られます。コイルと同様にVには電源電圧を代入することで、実際の値が求まります。

解答例(1) 並列回路

方法1.微分方程式を使用する場合

並列回路の特徴より、$I_R,I_L,I_c$は電源電圧にそれぞれ依存する。

コイルLについて、電源電圧$E=E_o\sin (\omega t+\theta )$を(2)式(3)式に代入し

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}{I}_R(t)={\displaystyle \frac{E_o}{R}}\sin (\omega t+\theta )\\ I_L={\displaystyle \frac{E_o}{L}}\int \sin (\omega t+\theta )dt\\ I_c=C{E}_o{\displaystyle \frac{d}{dt}}\sin (\omega t+\theta )\end{array}\end{array}$$

微分項、積分項を計算すると

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{I}_R(t)={\displaystyle \frac{E_o}{R}}\sin (\omega t+\theta )\\ I_L=-{\displaystyle \frac{E_o}{\omega L}}\cos (\omega t+\theta )dt\\ I_c=C{E}_o\omega \cos (\omega t+\theta )\end{array}\end{array}$$

上記が求める電流の瞬時値である。

回路全体に流れる電流値$I$は、$I=I_R+I_L+I_c$なので

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}I={\displaystyle \frac{E_o}{R}}\sin (\omega t+\theta )+(\omega C–{\displaystyle \frac{1}{\omega L}}{E}_o\cos (\omega t+\theta )\end{array}\end{array}$$

フェーザ表示を用いる方法

上記により、コイルL、コイルCに流れる電流のフェーザ表示は

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{l}{I}_L={\displaystyle \frac{E_o{e}^{j\theta }}{j\sqrt{2}\omega L}}\\ I_c=j\sqrt{2}\omega C{e}^{j\theta }\end{array}\end{array}$$

で表すことが出来ます。実効値で表すため、電源電圧は、振幅$E_o$を1/√2倍していることと、
sin(ωt+θ)となっているので、sinを基準に取るとexp項でθ部分を表すことだけ注意しましょう。

基準の位相はsinであるため、虚数jが付いた値はcos波である。実効値に戻すとき、この関係に注意すると、(5)式通りの結果が得られる。

解答例(2) 直列回路

こちらも瞬時値のまま解くことは可能ですが、フェーザ表示で一度答えを出し瞬時値に戻す方法が最も簡単です。

(1)と同じように、電源電圧のフェーザ表示は${\displaystyle \frac{E_o}{\sqrt{2}}}{e}^{\theta }$

直列回路のため、回路全体のインピーダンス$Z$は

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}Z=R+\text{j}\omega L+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C}}\end{array}\end{array}$$

よって、回路に流れる電流は、$I={\displaystyle \frac{E_o}{\sqrt{2}Z}}{e}^{\theta }$なので

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}I={\displaystyle \frac{E_o{e}^{\theta }}{\sqrt{2}(R+j(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}}}\end{array}\end{array}$$

これを瞬時値に戻すには、上式の電源電圧を√2倍、電源電圧と電流の位相差$\varphi$を

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{r}\varphi =-{\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}}{R}}\end{array}\end{array}$$

で表すと、下記のように表現できる。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}I={\displaystyle \frac{E_o}{\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}}}\sin (\omega t+\theta +\varphi )\end{array}\end{array}$$

虚部と実部を絶対値表記するために、分母でルートを取ることだけ注意しましょう。

最後に

瞬時値の計算は、電通大で問われることがあります。

フェーザ表示での計算ばかりを演習していると、いきなり問われた時に面食らうかもしれません。そんなことが無いように本記事が確認になれば幸いです。