【九大頻出】コルピッツ発振器とハートレー発振器の発振条件

はじめに

発振回路の性質は、前回の記事で説明しました。

本記事では、実際に存在する発振回路の発振条件を問題形式で見ていきます。

ループ利得$AH$の実部が1以上、虚部が0である大方針に基づいて解いていきます。

解答

コルピッツ発振器

増幅器(MOSFET)の先にコンデンサが並列に、コイルが間に直列に入っている回路です。

与えられた微小信号モデルにより、下記の等価回路に置き換えることができる。

ループ利得$AH$は、入力電圧$v_g=v_{GS}$と出力電圧$v_o$の間に$v_d$を設定することで、下記で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}AH={\displaystyle \frac{v_o}{v_g}}={\displaystyle \frac{v_d}{v_g}}･{\displaystyle \frac{v_o}{v_d}}\end{array}\end{array}$$

電流源から右を見たアドミタンスは下記で表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}{Y}_d={\displaystyle \frac{1}{r_d}}+j\omega C_1+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}\end{array}\end{array}$$

以上より、$v_d$は

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}{v}_d& =-g_m{v}_g{Z}_d\\ & ={\displaystyle \frac{-g_m{v}_g}{{\displaystyle \frac{1}{r_d}}+j\omega C_1+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}}}\end{array}\end{array}$$

次に、$v_o$は、分圧の関係により

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}{v}_o={\displaystyle \frac{\frac{1}{j\omega C_2}}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}{v}_d\end{array}\end{array}$$

以上より、求めるループ利得は、(3)(4)を(1)に代入して

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{r}AH={\displaystyle \frac{-g_m}{{\displaystyle \frac{1}{r_d}}+j\omega C_1+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}}}{\displaystyle \frac{\frac{1}{j\omega C_2}}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}\end{array}\end{array}$$

これから発振条件を求める。

まず、周波数条件$Im(AH)=0$について、上式の分母の虚部に注目し

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}j\omega C_1+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L+\frac{1}{j\omega C_2}}}=0\\ \omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{C_1+C_2}{L{C}_1{C}_2}}}\end{array}\end{array}$$

次に、振幅条件について、$Re(AH)\geqq 1$だから

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{r_d}}}{\displaystyle \frac{\frac{1}{\omega C_2}}{\omega L–\frac{1}{\omega C_2}}}\geqq 1\\ g_m{r}_d{\displaystyle \frac{1}{{\omega }^{2}L{C}_2-1}}\geqq 1\end{array}\end{array}$$

(6)を代入することで

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}{g}_m{r}_d{\displaystyle \frac{C_1}{C_2}}\geqq 1\end{array}\end{array}$$

を得る。(振幅条件)

ハートレー発振器

コルピッツ発振器からコイルとコンデンサを逆にした回路です。

小信号等価回路は

電流源から右を見たアドミタンスは

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}{Y}_d={\displaystyle \frac{1}{r_d}}+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_1}}+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}}}\end{array}\end{array}$$

これより、$v_d,v_o$は

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{ll}{v}_d& =-g_m{v}_g{Z}_d\\ & ={\displaystyle \frac{-g_m{v}_g}{{\displaystyle \frac{1}{r_d}}+\frac{1}{j\omega L_1}+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C}}}}}\\ v_o& ={\displaystyle \frac{j\omega L_2}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C}}}{v}_d\end{array}\end{array}$$

以上より、ループ利得は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}AH={\displaystyle \frac{-g_m}{{\displaystyle \frac{1}{r_d}}+\frac{1}{j\omega L_1}+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C_2}}}}}{\displaystyle \frac{j\omega L_2}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C}}}\end{array}\end{array}$$

周波数条件は、$Im(AH)=0$より

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_1}}+{\displaystyle \frac{1}{j\omega L_2+\frac{1}{j\omega C}}}=0\\ j\omega L_1+j\omega L_2+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C}}=0\\ {\omega }^{2}C(L_1+L_2)=1\\ \omega ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{C(L_1+L_2)}}}\end{array}\end{array}$$

次に、振幅条件は、$Re(AH)\geqq 1$より

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}{g}_m{r}_d{\displaystyle \frac{{\omega }^2{L}_{2}C}{1-{\omega }^2{L}_{2}C}}\geqq 1\end{array}\end{array}$$

${\omega }^2{L}_{2}C={\displaystyle \frac{L_2}{L_1+L_2}},1-{\omega }^2{L}_{2}C={\displaystyle \frac{L_1}{L_1+L_2}}$なので、(13)式より

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{r}{g}_m{r}_d{\displaystyle \frac{L_2}{L_1}}\geqq 1\end{array}\end{array}$$

補足

ループ利得$AH$で議論することも可能ですが、特性方程式$1+AH=0$として振幅条件、周波数条件を導出しても良いです。(九大では後者の教え方をしているようです。)

最後に

本問は九大の院試でよく出題されます。

2020年、2019年、2015年、2013年で出題がありました。そろそろ出題される時期かもしれません。

同大学を志望する方は是非練習してください。