導波管の性質とTEモード、TMモード、遮断周波数の計算問題

導波管とは

電磁波の伝送に用いる伝送路です。電磁場を通信源として見て、情報伝送などに用いられます。

無限平面型(スラブ型)もありますが、院試では矩形型の伝送路で問われることが多いです。型枠は金属管で覆われており、境界条件により電場を通さないようにしています。よって、型枠内部の中空領域において電磁波が伝搬します。

電磁波は、任意の周波数で伝搬するのではなく、決まった規則の周波数で離散的に伝搬します。下記では、その理由について深堀していきます。

導出の手順

問題で与えた内容が、実は導出そのものになっています。

(1)波動方程式

導波管は、マクスウェル方程式から導出できる波動方程式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}\mathrm{\Delta }\mathit{E}-{\epsilon }_o{\mu }_o{\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathit{E}}{\partial t^2}}=0\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}\mathrm{\Delta }\mathit{H}-{\epsilon }_o{\mu }_o{\displaystyle \frac{{\partial }^2\mathit{H}}{\partial t^2}}=0\end{array}\end{array}$$

の解を仮定することで、振る舞いが分かります。

※導出については、こちらの記事で詳しく説明しています。リンク先の問(3)で電信方程式を導出していますが、真空中だと導電率が0なので、波動方程式になります。覚えていない方は是非ともご覧ください。

(2)電場成分の一般解

導波管は、xy平面は導体で覆われています。このため、z方向にのみ伝搬する想定で、電場成分を下記のように立式します。(exp項内部が電磁波の伝搬成分を表す。)

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{r}{E}_z=E_z(x,y)e^{i(\beta z–\omega t)}\end{array}\end{array}$$

これを式(1)に代入し、解くことで導波管内部の電場分布を知ることができます。

ただ、微分方程式のため、やみくもに手計算で解こうとすると闇にはまります。そこで、数学的なテクニックを用います。

微分方程式を解く際の常套手段である変数分離法を用い、電場成分$E_z(x,y)$を下記のように分解します。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}{E}_z(x,y)=X(x)Y(y)\end{array}\end{array}$$

これを(1)式に代入すると

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{r}Y(y){\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}X(x)+X(x){\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}Y(y)+{\epsilon }_o{\mu }_o{\omega }^2=0\end{array}\end{array}$$

$k^2={\epsilon }_o{\mu }_o{\omega }^2,C_y=k^2-C_x$とし、x,y項それぞれ

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}X(x)=-C_{x}X\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}}Y(y)=-C_{y}Y\end{array}\end{array}$$

と置きます。上記の第1式について、α>0の$X(x)=e^{\alpha x}$と置くと

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}{\alpha }^2=-C_x\\ \alpha =\pm i\sqrt{C_x}\end{array}\end{array}$$

オイラーの式より、sin,cos項に分解できるため

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{r}X(x)=A\sin \sqrt{C_x}x+B\cos \sqrt{C_x}x\end{array}\end{array}$$

と置ける。導波管の存在する領域では電場が0になる境界条件$X(0)=X(a)=0$を代入すると、$B=0$が導かれ、sin項についても$\sqrt{C_x}a=m\pi$になる。(mは自然数)

同様に、第2式についても、β>0の$Y(y)=e^{\beta x}$と置くことで、$\beta =\pm i\sqrt{C_y}$となり、一般解

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}Y(y)=C\sin \sqrt{C_y}x+D\cos \sqrt{C_y}x\end{array}\end{array}$$

に対し、境界条件$Y(0)=Y(b)=0$を適用すると、

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{\begin{array}{l}D=0\\ \sqrt{C_x}b=n\pi \end{array}\end{array}$$

以上より、求める電場成分は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{r}{E}_z=AC\sin {\displaystyle \frac{m\pi x}{a}}\sin {\displaystyle \frac{n\pi y}{b}}\end{array}\end{array}$$

※$AC=E_o$と置き、最終的な解とすることがあります。

n,mともに1以上で無いと電場成分が0になり、存在できないです。このような伝搬モードをTE波と言います。

(3)磁場成分の一般解

(2)と同じです。ただし、境界条件だけ異なります。

金属管内部に電場は存在しないので、(2)ではそのまま$E_z=0$を考えれば良かったですが、磁場の場合は話が変わります。

磁場$H$の法線成分は連続にならないこと${\displaystyle \frac{\partial H}{\partial x}}=0$に注目します。(y軸成分の境界条件についても同様に${\displaystyle \frac{\partial H}{\partial y}}=0$の偏微分を考えます。

すると、(8)式、(9)式を立式するところまでは同じですが、これを一度偏微分することから、三角関数項がsinとcosで入れ替わります。

ですので、最終的な解は、電場では(11)式のようにsin項で表現していましたが、磁場の場合はcos項になります。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}{H}_z=AC\cos {\displaystyle \frac{m\pi x}{a}}\cos {\displaystyle \frac{n\pi y}{b}}\end{array}\end{array}$$

cos項ですので、mかnがどちらか0であったとしても、もう一方が1以上であれば$H_z$は0より大きい値となり、伝搬します。(TM波と言います。)

上記の点は電場と異なりますので、是非覚えておきましょう。

(4)遮断周波数

問(2)(3)の結果から波数を導き、そこから遮断周波数を算出します。

TE波の場合

(2)(3)の結果により、電場、磁場はsin cosの違いは有れど、${\displaystyle \frac{m\pi }{a}},{\displaystyle \frac{n\pi }{b}}$の波数を持っています。

よって、二つの重ね合わせ

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}{k}_{mn}^2={\left({\displaystyle \frac{m\pi }{a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{m\pi }{b}}\right)}^2\end{array}\end{array}$$

について、遮断周波数$f_c={\displaystyle \frac{c{k}_{mn}}{2\pi }}$は

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \begin{array}{r}{f}_c={\displaystyle \frac{c}{2\pi }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{m\pi }{a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{m\pi }{b}}\right)}^2}\end{array}\end{array}$$

なお、$c$は光速(3.0*10^8 m/s)である。最小値は、m=n=1を考えれば良く

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{r}{f}_{min}={\displaystyle \frac{c}{2\pi }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\pi }{a}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\pi }{b}}\right)}^2}\end{array}\end{array}$$

TM波の場合

(3)より、mかnどちらか0でも問題無いです。a>bで、逆数を取るので、1/aの方が小さいです。

よって、cos(mπ/a)に関わる項にm=1を代入し、n=0とすると、最小値

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \begin{array}{r}{f}_{min}={\displaystyle \frac{c}{2\pi }}{\displaystyle \frac{\pi }{a}}\end{array}\end{array}$$

を得られます。

(5)分散関係

量子力学的要素が強く、工学部の院試にはあまり出ないとは思いますが、参考に記載します。工学部ではあまり習わないかもしれませんが、分散関係とは下記の意味になります。

上記は、相対論で述べられている式になります。内容を図示すると、下記のようになります。

波数が小さい領域では、カットオフ角周波数に近づいているため、情報が伝搬しないことが分かります。

一方で、波数が大きくなるにつれて傾きが大きくなり、群速度${\displaystyle \frac{d\omega }{dk}}$は光速に漸近します。よって、その分だけ情報を伝送できるようになります。

最後に

導波管は、上記のようなパターン問題での出題が非常に多いです。微分方程式の解き方を覚えているだけで得点することができます。是非、知識に入れておきましょう。