磁気回路法による磁性体内の磁場の計算問題

磁気回路法とは

磁束の流れを回路モデルに置換し、これを解くことにより、磁場などのパラメータを求める手法です。

アンペールの法則を用いて磁性体内部の磁場を求める方法もありますが、こちらの方法では回路として機械的に計算するため、システマティックに特性を求められる利点があります。

回路パラメータの置き方

電気回路での基本パラメータは、電圧$V$、電流$I$、抵抗$R$でした。磁気回路では、それぞれ下記に置き換えます。

磁気回路のため、電流に関しては磁束にそのまま変数を置き換えれば良いです。

抵抗に関して、電気回路では$R={\displaystyle \frac{l}{\sigma S}}$でした。導電率を透磁率に置き換えれば良いです。

電圧に関しては、アンペールの法則により

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}{\int }_c\mathit{H}･d\mathit{s}=Hl=NI\end{array}\end{array}$$

なので、上記の書き換えができます。

解答例

(1)三脚鉄心の空隙部における磁場

与えられた鉄心は、下記のような磁気回路モデルに置き換えられる。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}{V}_m=NI\\ R_{m1}={\displaystyle \frac{3l}{\mu S}}\\ R_{m2}={\displaystyle \frac{l-\delta }{\mu S}}+{\displaystyle \frac{\delta }{{\mu }_{o}S}}\\ V_m=R_{m1}\mathrm{\Phi }+2R_{m2}\mathrm{\Phi }\end{array}\end{array}$$

これを解くと

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }& ={\displaystyle \frac{V_m}{R_{m1}+R_{m2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{NI\mu {\mu }_{o}S}{(5l-2\delta ){\mu }_o+2\delta \mu }}\end{array}\end{array}$$

$\mathrm{\Phi }=BS={\mu }_{o}HS$より、空隙内の磁場$H$は

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{r}H={\displaystyle \frac{2\mathrm{\Phi }}{{\mu }_{o}S}}={\displaystyle \frac{2NI\mu }{(5l-2\delta ){\mu }_o+2\delta \mu }}\end{array}\end{array}$$

(2)左右で透磁率の異なる円環トロイド

(a)磁性体1,2内部の磁場$H$、磁束密度$B$

与えられたトロイドコイルは、下記のような回路モデルに置き換えられる。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \{\begin{array}{l}{V}_m=N_1{I}_1\\ R_{m1}={\displaystyle \frac{\pi a}{{\mu }_{1}S}}\\ R_{m2}={\displaystyle \frac{\pi a}{{\mu }_{2}S}}\\ V_m=R_{m1}\mathrm{\Phi }+R_{m2}\mathrm{\Phi }\end{array}\end{array}$$

これを解いて、磁束$\mathrm{\Phi }$は

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{r}\mathrm{\Phi }={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_{2}S{N}_1{I}_1}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

次に、磁束密度$B$は、境界面に対して連続なので、磁性体1,2共通して

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \begin{array}{r}B={\displaystyle \frac{\mathrm{\Phi }}{S}}={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_1{I}_1}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

最後に、磁場について$H_1={\mu }_{1}B,H_2={\mu }_{2}B$だから

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \{\begin{array}{l}{H}_1={\displaystyle \frac{{\mu }_2{N}_1{I}_1}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\\ H_2={\displaystyle \frac{{\mu }_1{N}_1{I}_1}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

(b)コイル1,2間の相互インダクタンス

${\mathrm{\Phi }}_2=M{I}_1$の関係により、相互インダクタンスを求める。

コイル2を貫く鎖交磁束を求めるためには、コイル1から発生する磁束をまず考える必要がある。${\mathrm{\Phi }}_2=N_2{\varphi }_1$であり、${\varphi }_1$は(6)式を用いれば良いので

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \begin{array}{r}{\mathrm{\Phi }}_2={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_1{N}_2{I}_1}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\\ M={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_1{N}_2}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

(c)コイル2の自己インダクタンス

コイル2から発生した磁束${\varphi }_2$がコイル2自身を貫くときの鎖交磁束${\mathrm{\Phi }}_2$を利用し、${\mathrm{\Phi }}_2=L_2{I}_2$の関係を用いて解けば良い。

${\varphi }_2$は、(6)式の$I_1$を$I_2$に置き換えれば良く

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{r}{\varphi }_2={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_2{I}_2}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

これより、鎖交磁束${\mathrm{\Phi }}_2=N_2{\varphi }_2$と自己インダクタンス$L_2$は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Phi }}_2={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_2^2{I}_2}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\\ L_2={\displaystyle \frac{{\mu }_1{\mu }_2{N}_2^2}{\pi a({\mu }_1+{\mu }_2)}}\end{array}\end{array}$$

最後に

磁気回路法は、院試でそのまま出題されることは少ないですが、アンペールの法則で導き出した答えを確認する上では有用な方法です。

本問も解けるようにしておき、試験本番で迷うような答えが出た際は、本知見から妥当性を確かめられるようにしておきましょう。