分極電荷の性質と様々な系における計算問題

分極電荷とは

誘電体内部で発生する正負に分かれた電荷の群を言います。

電場が誘電体にかかっている系を考えます。誘電体は、マクロで見れば電気的に中性です。しかし、電場によって内部の電子が吸い寄せられます。その結果、ミクロで見れば負の領域と正の領域が発生します。

この現象を分極と言い、分極により発生する電荷量を分極電荷と言います。

また、正負の分極電荷を結ぶベクトルを分極ベクトルと言います。分極ベクトルには下記の物理的意味があります。

これは、次節のように、分極ベクトルと分極電荷の面密度、体積密度の関係式を導くときに重要な考え方になります。

分極ベクトルと分極電荷密度の関係

上記の分極モデルを考えます。分極電荷密度\(\rho\)、底面積\(S\)、高さ\(h\)の直方体を考えます。正の分極電荷を持つ領域と、負の分極電荷を持つ領域が微小ベクトル\(\boldsymbol{\delta}\)だけずれています。

この時、分極電荷は\(\sigma_{p}=\rho S \delta\)になります。

双極子モーメントは、上式に電荷同士が離れている距離\(h\)をかけると良いので

\begin{aligned}\rho S \delta ･h=\rho \delta *V\end{aligned}

になります。(Vは体積で、V=Shです。)

よって、前節のCheckボックス１．の説明内容により、単位体積当たりの双極子モーメントの大きさは

\begin{aligned}\boldsymbol{P}=\rho \delta\end{aligned}

次に、Checkボックス2により、ずれ\(\delta\)により表面から飛び出す正電荷の量は、分極ベクトル\(\boldsymbol{P}\)に等しいので

\begin{aligned}P=\sigma_{p}\end{aligned}

となります。(2)式と合わせると、\(P=\sigma_{p}=\rho \delta\)となり、分極電荷の面密度、体積密度の間の関係式も導かれました。

分極電荷の求め方

電束密度と電場、分極ベクトルの関係式

\begin{aligned}\boldsymbol{D}=\varepsilon_{o}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}\end{aligned}

とガウスの法則を連立して求めることが多いです。

電束密度に関するガウスの法則では、真電荷の面密度を\(\sigma\)とすると、

\begin{aligned}D=\sigma\end{aligned}

\begin{aligned}P=\sigma_{p}\end{aligned}

なる関係式が導かれます。問題で与えられている系ごとに電束密度、電場を考えて(4)式に代入すると分極電荷の面密度を求めることができます。

解答例

(1)平行平板コンデンサ

導体極板と誘電体にまたがる底面積Sの円筒を考える。ガウスの法則により

\begin{aligned}DS=\sigma S \\ D=\sigma\end{aligned}

誘電体内部の電場は、誘電率が\(\varepsilon\)なので

\begin{aligned}E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}\end{aligned}

これを(4)式に代入すると

\begin{aligned}\sigma=\varepsilon_{o}E+\sigma_{p} \\ \sigma_{p}=\sigma \left (1-\dfrac{\varepsilon_{o}}{\varepsilon}\right)\end{aligned}

(2)無限平面誘電体

電束密度\(D\)について、真空中と誘電体中とで連続である。

\begin{aligned}D=\varepsilon_{o}E_{o}=\varepsilon E \end{aligned}

これを変形して

\begin{aligned}E=\dfrac{\varepsilon_{o}}{\varepsilon}E_{o}\end{aligned}

\(P=\sigma_{p}\)より、以上の内容を(4)式に代入して

\begin{aligned}\sigma_{p}&=\varepsilon_{o}(E_{o}-E) \\ &=\dfrac{\varepsilon_{o}}{\varepsilon}(\varepsilon-\varepsilon_{o})E_{o}\end{aligned}

(3)外部電場が平行にかかる場合

外部電場に誘起されて誘電分極は発生しないため、\(P=0\)

よって、分極電荷の面密度も0。

(4)誘電体中の導体球

電束密度\(D\)によるガウスの法則を考える。半径r>aの球を取ると、求める電束密度は

\begin{aligned}D=\dfrac{Q}{4 \pi r^{2}}\end{aligned}

これより、誘電体中の電場は、\(D=\varepsilon E\)より

\begin{aligned}E=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon r^{2}}\end{aligned}

次に、誘電体と導体球との境界に現れる分極電荷を考える。r=aの範囲でガウスの法則を考えると、真電荷と分極電荷の影響を両方考えることができるため

\begin{aligned}E=\dfrac{Q+Q_{p}}{4 \pi a^{2} \varepsilon_{o}}\end{aligned}

(14)式にr=aを代入し、(15)式に適用すると、求める分極電荷の量は

\begin{aligned}Q_{p}=\left(\dfrac{\varepsilon_{o}}{\varepsilon}-1 \right)Q\end{aligned}

最後に

分極電荷が発生する因果関係が分かっていないと、立式する際に誘電率\(\varepsilon_{o},\varepsilon\)の区別が付かずに苦戦することがあります。

是非、自分なりのイメージを付けて、迷いなく立式できるようにしましょう。