重ね合わせの理の説明と問題を用いた解説

問題

下記の回路に流れる電流\(I\)を、重ね合わせの理を用いて答えよ。

(1)交流電圧源\(E_{1},E_{2}\)、定電流源\(J\)を接続した抵抗回路。
(2)交流電圧源\(E_{1}\)と定電流源\(J\)を接続したインピーダンス回路
(3)交流電圧源\(E_{1}\)と定電流源\(J\)を接続したインピーダンス回路に\(Z_{L}\)を接続したときの電流

重ね合わせの理とは

複数の電圧源、電流源から発生する電流は、一つの電源を残し、他は全て殺した状態から発生する電流を個々に足し合わせた結果に等しいことを言います。

例

下記の回路を考えます。

電圧源\(E_{1},E_{2}\)から抵抗\(R_{3}\)へ流れる電流は

電圧源\(E_{1}\)が存在し、電圧源\(E_{2}\)を短絡した回路
電圧源\(E_{2}\)が存在し、電圧源\(E_{1}\)を短絡した回路

の個々の結果1.2.の足し合わせで求められます。

1.のとき、抵抗部分に流れる電流は\(I_{1}=\dfrac{E_{1}}{R_{1}+R_{2}}\)
2.のとき、抵抗部分に流れる電流は\(I_{2}=-\dfrac{E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

だから、結果は\(I=I_{1}+I_{2}\)より

\begin{aligned}I=\dfrac{E_{1}}{R_{1}+R_{2}}-\dfrac{E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\end{aligned}

になります。電流源の場合でも、個々に考えることで求まります。

注目した電源以外の取り扱い

電圧源を無効化するとき：該当の電圧源を短絡する
電流源を無効化するとき：該当の電流源を開放する

電圧源は定電圧\(E\)を出し続ける素子です。ですので、無効化するときは電圧を0⇒短絡すれば良いです。

また、電流源は定電流\(I\)を出し続けるため、\(I=0\)⇒開放すれば良いわけですね。

重ね合わせの理が成立する理由

回路上に存在する素子(電圧源、電流源、抵抗、コンデンサ、インダクタンス)が線形素子であるためです。

キルヒホッフの法則は線形方程式であるため、別々で考えた結果を足し合わせても最終的な結果に変わりありません。上記の素子のみが存在する場合に限り有効と言うわけですね。

ダイオードなど、非線形素子が回路上に存在するときは使用できませんのでご注意ください。

解答例

(1)抵抗回路

前節と同じように、電圧源\(E_{1},E_{2}\)、電流源\(J\)を順に考えていきます。

\(E_{1}\)のみ考えるとき

下記の電気回路となる。

抵抗\(R_{1}\)に流れる電流\(I_{1}\)は、分圧の法則により

\begin{aligned}I_{1}&=\dfrac{E_{1}}{R_{2}+\dfrac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{3}}}\dfrac{R_{3}}{R_{1}+R_{3}} \\ &= \dfrac{R_{3}E_{1}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}}\end{aligned}

\(E_{2}\)のみ考えるとき

下記の電気回路となる。

同じく、抵抗\(R_{1}\)に流れる電流\(I_{2}\)は、\(R_{1},R_{2}\)の並列回路より

\begin{aligned}I_{2}&=-\dfrac{E_{2}}{R_{3}+\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\ &=-\dfrac{R_{2}E_{2}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}}\end{aligned}

\(J\)のみ考えるとき

抵抗\(R_{1}\)と抵抗\(R_{2},R_{3}\)の並列回路となるので

\begin{aligned}I_{3}&=-\dfrac{\dfrac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}{R_{1}+\dfrac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}J\\ &=-\dfrac{R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}}J\end{aligned}