【境界条件】磁性体境界面で発生する磁場の計算問題

磁性体とは

磁化ベクトルを持つ物質を言います。磁化とは、物質内部で磁気双極子モーメントが発生することを言い、これにより、物質から外部へ磁場が発生します。

現実に存在する物質は、大なり小なり磁化しますが、一般的には強く磁化される物質を磁性体と呼ぶことが多いです。

微小体積中に含まれる磁気双極子モーメントは、\(\dfrac{d\boldsymbol{m}}{dV}\)で表されます。単位体積当たりの磁気モーメントを磁化ベクトル\(\boldsymbol{M}\)で表すと、下記になります。

\begin{aligned}\boldsymbol{M}=\dfrac{d\boldsymbol{m}}{dV}\end{aligned}

このように、磁気双極子モーメントによって磁化の強さが決まります。

磁気双極子モーメントの特性

電気双極子モーメントの記事でもお話ししましたが、同様の特性を持ちます。

磁気双極子モーメント\(\boldsymbol{m}\)とし、距離r離れた位置に発生する磁場\(H\)は、磁位\(\phi_{m}\)から

\begin{aligned}\phi_{m}=\dfrac{m\cos \theta}{4 \pi r^{2}}=\dfrac{\boldsymbol{m}･\boldsymbol{r}}{4 \pi r^{2}}\end{aligned}

\(\boldsymbol{H}=-grad\phi_{m}\)だから

\begin{aligned}\boldsymbol{H}=\dfrac{1}{4 \pi} \left \lbrack \dfrac{3(\boldsymbol{m}･\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^{5}}-\dfrac{\boldsymbol{m}}{r^{3}} \right \rbrack\end{aligned}

\begin{cases}H_{r}=\dfrac{m \cos \theta}{2 \pi r^{3}} \\ H_{\theta}=\dfrac{m \sin \theta}{ 4 \pi r^{3}}\end{cases}

になります。詳しい導出は電気双極子の記事をご覧ください。電気双極子モーメント\(\boldsymbol{p}\)を磁気双極子モーメント\(\boldsymbol{m}\)に置き換えるとできます。

解答例

電磁波の記事などで説明していますが、境界条件により解決することができます。

(1)境界面に対し垂直にかかる磁場

磁束密度\(B_{m}\)が連続なので、真空中の磁束密度\(B\)も等しい。

\begin{aligned}B=B_{m}\end{aligned}

真空中の透磁率は\(\mu_{o}\)なので、真空中の磁場\(H\)は

\begin{aligned}H=\dfrac{B_{m}}{\mu_{o}}\end{aligned}

(2)境界面に対し平行にかかる磁場

磁性体中の磁場\(H_{m}=\dfrac{B_{m}}{\mu}\)が連続なので

\begin{aligned}H=\dfrac{B_{o}}{\mu}\end{aligned}

\begin{aligned}B=\mu_{o}H=\dfrac{\mu B_{o}}{\mu}\end{aligned}

(3)境界面に対し斜めに入射するとき

磁束密度\(B_{m}\)を垂直成分、接線成分に分解すると

\begin{cases}B_{m}\cos \theta_{m}=B \cos \theta \\ H_{m}\sin \theta_{m}=H \sin \theta \\ B_{m}=\mu H_{m} \\ B=\mu H \end{cases}

これを解くと、下記のように求まる。

\begin{cases}B=B_{m}\sqrt{\cos^{2} \theta +\left(\dfrac{\mu_{o}}{\mu} \right)^{2}\sin^{2} \theta} \\ H=\dfrac{B_{m}}{\mu_{o}}\sqrt{\cos^{2} \theta +\left(\dfrac{\mu_{o}}{\mu} \right)^{2}\sin^{2} \theta} \\ \theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{\mu_{o}}{\mu}\tan \theta_{m}\right) \end{cases}

最後に

本問の類題が大阪公立大学で出題されたことがあります。電場による分極でしたが、考え方の本質ば磁場でも変わりません。