【電磁気学】正対する点電荷の等電位面の計算問題

等電位面とは

等電位になる線を様々な電位において図示した集合を言います。

電位は、電場の接線成分の線積分によって増減していきます。ということは、電場に対し垂直になる成分は電位が変化しない=等電位であることが分かります。

理論上、様々な点において電場の成分が求まれば、それぞれの垂直(内積0)の成分を計算し、隣り合う点とつなぎ合わせることで等電位面が求まります。

電気双極子の記事にて、正対する点電荷から発生する電場、電位分布について考えてきました。本記事では、電位分布をさらに掘り下げ、等電位面について手計算で求めていきます。

等電位面の計算方法

2つの点電荷において、V=0のときに限ってですが、等電位面は円になります。このため、円の方程式

\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\end{aligned}

の形になるように電位\(V\)の式を変形していけば良いです。

電位に関しては、クーロンの式の重ね合わせ

\begin{aligned}V=\dfrac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{o}r_{1}}+\dfrac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{o}r_{2}}\end{aligned}

で考えることができます。本問では、上式に\(V=0\)を代入し、円の方程式を目指して式変形を繰り返すことで解決します。

※V≠0のときは、円とは限らず複雑な方程式になる場合があります。手計算で求めるには厳しく、院試では出題されないはずですが、知識として持っておきましょう。

解答例

(1)電位が0になるx軸上の点

ある点(x,y)における電位は、(2)式より

\begin{aligned}V=\dfrac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{o}\sqrt{(x+l)^{2}+y^{2}}}-\dfrac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{o}\sqrt{(x-l)^{2}+y^{2}}}\end{aligned}

\(V=0,y=0\)を代入し

\begin{aligned}0=\dfrac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{o}\sqrt{(x+l)^{2}}}-\dfrac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{o}\sqrt{(x-l)^{2}}}\end{aligned}

√内は絶対値になりますので、内部の符号に基づき場合分けしていきます。

(i) x>l のとき

√内は全て正になるので

\begin{aligned}&q_{1}x-q_{1}l-q_{2}x-q_{2}l=0 \\ &(q_{1}-q_{2})x=l(q_{1}+q_{2}) \\ &x = \dfrac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}-q_{2}}l \end{aligned}

x>lを満たすため、適する。

(ii) -l<x<l のとき

\begin{aligned}&-q_{1}x+q_{1}l-q_{2}x-q_{2}l=0 \\ &(-q_{2}-q_{1})x=-l(q_{1}-q_{2}) \\ &x = \dfrac{q_{1}-q_{2}}{q_{1}+q_{2}}l \end{aligned}

-l<x<lを満たすため、適する。

(iii) x<-l のとき

\begin{aligned}&-q_{1}x+q_{1}l+q_{2}x-q_{2}l=0 \\ &x = \dfrac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}-q_{2}}l \end{aligned}

x>0なので、不適。

(1)のまとめ

(i)~(iii)より、求めるx軸上の座標は

\begin{aligned}x=\dfrac{q_{1}+q_{2}}{q_{1}-q_{2}}l,\dfrac{q_{1}-q_{2}}{q_{1}+q_{2}}l\end{aligned}

(2)等電位面の計算

(3)式にV=0を代入し、円の方程式になるよう変形を進めていく。

\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{(x-l)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x+l)^{2}+y^{2}}}=\dfrac{q_{2}}{q_{1}} \end{aligned}

\begin{aligned} \left \lbrace 1-\left(\dfrac{q_{2}}{q_{1}}^{2}\right) \right \rbrace x^{2}-2l \left \lbrace 1+ \left (\dfrac{q_{2}}{q_{1}} \right)^{2} \right \rbrace x +(l^{2}+y^{2})\left \lbrace 1-\left(\dfrac{q_{2}}{q_{1}}\right)^{2} \right \rbrace =0 \end{aligned}

\begin{aligned} x^{2}-2l\left( \dfrac{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}}\right) + (l^{2}+y^{2}) = 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \left(x – \dfrac{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} \right)^{2} + y^{2} =\left ( \dfrac{2q_{1}q_{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} \right)^{2} \end{aligned}

以上より、V=0の等電位線の軌跡は、中心が\(\left ( \dfrac{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}},0 \right )\)、半径が\( \dfrac{2q_{1}q_{2}}{q_{1}^{2}-q_{2}^{2}} \)の円を表している。

最後に

等電位面の方程式を求める問題は神戸大でよく出題されます。本大学を志望する方は、是非マスターしましょう。