質量$m$、電荷量$-e$の電子と正イオンからなる電離気体中を伝搬する電磁波が、下記の式で与えられるとする。
\begin{cases}\boldsymbol{E}=E_{o}e^{i(\boldsymbol{k}･\boldsymbol{r}- \omega t)}\boldsymbol{\widehat{x}} \\ \boldsymbol{B}=B_{o}e^{i(\boldsymbol{k}･\boldsymbol{r}- \omega t)}\boldsymbol{\widehat{y}}\end{cases}
ただし、$\omega$は角周波数、$t$は時間である。正イオンの運動は無視できるものとし、下記の問いに答えよ。
問1：$\omega=ck$のとき、電子に加わるローレンツ力のうち、$\boldsymbol{E}$による力と$\boldsymbol{B}$による力の比を求めよ。
問2：問1の結果により、電子の運動によって生じる電流密度$J$を$\boldsymbol{j_e(\omega)}=A(\omega)\boldsymbol{E}$と表すとき、$A(\omega)$を求めよ。このとき、電離気体の誘電率$\varepsilon(\omega)$を求めよ。
問3：電離気体中の電磁波伝搬に対する$\boldsymbol{j}$と変位電流$\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}$の役割について考察せよ。
問4：下記の電信方程式を用いて、分散関係$k(\omega)$を求めよ。
\begin{aligned}
\nabla^2 \mathbf{E}
= \mu \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\end{aligned}
プラズマとは
気体を構成する原子中の電子が電離した状態を言います。よく、物質の第四の状態と呼ばれることがあります。高温になると電離が顕著になるため、このような言われ方をしています。
この性質を応用し、気体放電、核融合発電、MHDエネルギー変換とイオン推進器など、様々な工学分野で本知見が用いられています。
地球大気の上層部では、ガスが電離して電子の正イオンの希薄なプラズマとなっています。正イオンは質量が重いため動かずに一様に分布しているものとし、本記事では、プラズマ中に電磁波を加えた時の振る舞いを考える問題となります。
プラズマ中を電磁波が伝搬する時の振る舞い
問1~4で順序だてて理解できるようにはしていますが、ここではポイントを提示します。
- 電子の運動は、電場成分による力が支配的である。(問1)
- 電磁波により、電子が振動運動をする。(電子電流密度)(問2)
- 電磁波による変位電流密度と合わせて分散関係が求められる(問3,4)
問1では、ローレンツ力の式を用いた定性的な評価
問2以降では、マクスウェル方程式を変形し、問われた物理パラメータを角周波数に対して評価していきます。
解答例
問1：電場成分と磁場成分の力の比
電子に働くローレンツ力$\boldsymbol{F}$は
\begin{aligned}\boldsymbol{F}=-e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}×\boldsymbol{B})\end{aligned}
マクスウェル方程式$\delta×\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$より$ikE_x=i \omega B_y$
ローレンツ力の比を取り
\begin{aligned}\dfrac{vB_y}{E_x}=\dfrac{vk}{\omega}=\dfrac{v}{c}<1\end{aligned}
よって、電場$\boldsymbol{E}$成分が支配的である。
問2：電流密度の係数
問1の結果により、電場成分による電子の運動方程式を積分し、電流密度を求める。
\begin{cases}m\dfrac{d \boldsymbol{v}}{dt}=e\boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{v}=-\dfrac{e}{m}\dfrac{\boldsymbol{E}}{-i \omega}=\dfrac{e}{i \omega m}\boldsymbol{E}\end{cases}
$\boldsymbol{j}=en\boldsymbol{v}$により、求める電流密度$\boldsymbol{j}$は
\begin{aligned}\boldsymbol{j}&=-en\boldsymbol{v} \\ &=-\dfrac{e^{2}n}{i \omega m}\boldsymbol{E} \\ &=A(\omega)\boldsymbol{E}\end{aligned}
変位電流密度$\boldsymbol{j}_d$は電束密度の時間微分により
\begin{aligned}\boldsymbol{j}_d&=\varepsilon_{o}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \\ &=\varepsilon_{o}(-j \omega \boldsymbol{E}) \\ &=-i \omega \varepsilon_{o}\boldsymbol{E}\end{aligned}
全電流密度$\boldsymbol{j}_e$は、
\begin{aligned}\boldsymbol{j}_e&=\boldsymbol{j}+\boldsymbol{j}_d \\ &=-i \omega \varepsilon_{o}\left(1-\dfrac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}}\right)\boldsymbol{E}\end{aligned}
以上より、求める誘電率$\varepsilon(\omega)$は
\begin{aligned}\varepsilon(\omega)=\varepsilon_{o}\left(1-\dfrac{\omega_p^{2}}{\omega^{2}}\right)\end{aligned}
問3：変位電流の役割
問2の結果により、電子の運動において、見かけ上の誘電率$\varepsilon(\omega)=\varepsilon_{o}\left(1-\dfrac{\omega_p^{2}}{\omega^{2}}\right)$が存在している。
$\omega>\omega_p$の場合は、電磁波は伝搬するが、
$\omega<\omega_p$の場合は、電磁波は減衰または屈折、反射します
これは、$\left(1-\dfrac{\omega_p^{2}}{\omega^{2}}\right)$の符号関係によります。正ならば同位相のため、電磁波はそのまま伝搬しますが、負なら虚数を持ちます。位相ずれにより、電磁波は減衰、屈折、反射などの事象が起こります。
問4：分散関係
与えられた波動方程式を変形していきます。
\begin{aligned}
\nabla^2 \mathbf{E}
= \mu \frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\end{aligned}
(6)式を時間微分すると
\begin{aligned}\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t}
= \frac{e^2 n}{m} \mathbf{E}\end{aligned}
これを (10)式に代入し、
\begin{align}
\nabla^2 \mathbf{E}
&= \mu \frac{e^2 n}{m} \mathbf{E}+\mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \\
(ik)^2 E_o
&= \mu \frac{e^2 n}{m}E_o+\mu \varepsilon (-i\omega)^2 E_o
\end{align}
これを解いて、
\begin{aligned}k^2 = -\mu \frac{e^2 n}{m} + \mu \varepsilon \omega^2\end{aligned}
$\mu \approx 1, \quad \varepsilon = \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$とおくと
\begin{aligned}k^2 = \frac{\omega^2 – \omega_p^2}{c^2}, \quad
\omega_p^2 = \frac{e^2 n}{m \varepsilon_0}\end{aligned}
\begin{aligned}k(\omega) = \frac{\sqrt{\omega^2 – \omega_p^2}}{c}\end{aligned}
