【電気回路】ベクトル軌跡の作図方法に関する問題

問題

下記の電気回路(1)(2)のベクトル軌跡を求めよ。

(1)コイルLを直列に繋ぎ、RCを並列に繋いだ回路を考える。Lの大きさを変化させたとき、端子1-1’から回路に流れる電流ILの変化をベクトル軌跡で表せ。

(2)RLを並列に接続したブリッジ回路において、Rが0から∞に変化したときを考える。端子ab間の電圧Vabのベクトル軌跡を求めよ。

ベクトル軌跡とは

回路の特性を複素平面上にプロットした線図を言います。(円線図とも言います。)

冒頭で与えた問題のように、変化させるパラメータを変数に取り軌跡を描くことで、そのときの回路の特性を視覚的に把握できます。

例えば、あるインピーダンスZの軌跡は下記の図1で表されるとします。下記のような解釈ができます。

上記ベクトル軌跡の解釈
  1. ω=ω1のときは虚部成分が負に大きくなることから、容量性負荷を持つ。
  2. ω=ω2のときは虚部が0であることから共振周波数である。
  3. ω=ω3のときは虚部成分が正に大きくなることから、誘導性負荷を持つ。

これは、周波数によって回路の特性を変えたいときに有用です。

円線図の作図方法

下記の視点で図を書くと、うまく行きやすいです。

円線図の作図方法
  1. 作図対象が分数表記のとき:分子、分母それぞれの作図をし、両者を重ね合わせる。
  2. 複雑な電気回路のとき:素子ごとの軌跡を考えていき、重ね合わせた結果を全体の軌跡とする。

作図方法1.の説明

例えば、RC並列回路におけるインピーダンス

(1)Z=R1+jωCR

について、ωを0から∞に変化した場合の軌跡を考えます。

まず、分母1+jωCRについて、角周波数を動かした時、虚部のみ影響を受けます。よって、複素平面上では実軸=Rを上下に移動する直線になります。

これを逆数にするとどうなるでしょうか。位相が逆転し、ω=1CRのとき、実部と虚部が一致することから、下向きの半円となります。

あとは、分子Rの影響を加味すればベクトル線図の完成です。上記の軌跡をR倍すれば良いわけですから

になります。全体の式を構成する要素を一つ一つ考えていくことで、作図することができました。

ある実軸を上下に移動する軌跡は、逆数にすると円になる事実は覚えておくと有用です。

作図方法2.の説明

下記の電気回路のインピーダンスの軌跡を考えます。抵抗Roに対し、RLC並列回路が直列で接続されています。ωを変数とします。

この場合、Roの軌跡とRLC並列回路の軌跡の重ね合わせが求めるベクトル軌跡になります。

まず、Roのベクトル軌跡について、角周波数を持たないことから実軸Roの固定点となります。

次にRLC並列回路のベクトル軌跡を考えます。インピーダンスは

(2)Z=1R+j(ωL1ωC)

であり、ω=0のときは、コンデンサ成分が無限大となるので、複素平面上の原点(0,0)に当たります。

そこから、ωを増加させたとき、分母のコンデンサ成分は変わらずコイル成分より強いです。通分した分母の虚部jωCRが正で、有理化すると分子は負になることから、ベクトル線図の虚部は負の領域に移動します。

やがて、コンデンサ成分とコイル成分が等しくなり、共振周波数を迎えると、今度はコイルの成分が強くなります。よって、ベクトル線図の虚部は負の領域に突入します。

角周波数を∞とすると、コイル成分が無限大となるので、ω=0のときと同じく複素平面上の原点(0,0)に当たります。

上記を総合すると、RLC並列回路の軌跡は時計回りの円になることが分かります。

これをRoの軌跡と合成すれば良いです。実軸をRo分オフセットさせれば良いので

となります。合成インピーダンスとして一度に考えると式変形が複雑になりがちですが、楽に作図することができました。

解答例

(1)

作図方法1.を用いて解きます。

端子1-1’間の電圧をVLとすると、回路に流れる電流は

(3)IL=VLjωL+R1+jωCR=VLR1+(ωCR)2+j(ωLωCR21+(ωCR)2)

まず分母R1+(ωCR)2+j(ωLωCR21+(ωCR)2)の軌跡について、Lが変数なので、実軸R1+(ωCR)2を上下に移動する軌跡となる。

これを逆数にすると円線図になる。結果を分子のVi倍することに注意すると、求める軌跡は

(2)

端子ab間の電圧Vabは、分圧の法則により

(4)Vab=(RR+jωL12)E=(11+jωL/R12)E

上式に対し、(i)Rが変化する場合を考える。

1+ωLRにおいて、実軸1を虚軸の正の領域に移動する半直線になることから

逆数として考えると、半円になる。位相が逆になるので、下向きの半円になる。

(4)式により、上記の結果に対し実軸を-E/2分オフセットさせれば良いので、求める軌跡は

原点を中心とする下向きの半径E/2の半円であることが分かった。

最後に

ベクトル軌跡は、一部の大学の院試でよく出題されます。

自身の受けようとしている大学の過去問で出題されている場合は、是非対策しましょう。

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