下記の電気回路(1)(2)のベクトル軌跡を求めよ。
(1)コイルLを直列に繋ぎ、RCを並列に繋いだ回路を考える。Lの大きさを変化させたとき、端子1-1’から回路に流れる電流
(2)RLを並列に接続したブリッジ回路において、Rが0から∞に変化したときを考える。端子ab間の電圧

ベクトル軌跡とは
回路の特性を複素平面上にプロットした線図を言います。(円線図とも言います。)
冒頭で与えた問題のように、変化させるパラメータを変数に取り軌跡を描くことで、そのときの回路の特性を視覚的に把握できます。
例えば、あるインピーダンス

のときは虚部成分が負に大きくなることから、容量性負荷を持つ。 のときは虚部が0であることから共振周波数である。 のときは虚部成分が正に大きくなることから、誘導性負荷を持つ。
これは、周波数によって回路の特性を変えたいときに有用です。
円線図の作図方法
下記の視点で図を書くと、うまく行きやすいです。
- 作図対象が分数表記のとき:分子、分母それぞれの作図をし、両者を重ね合わせる。
- 複雑な電気回路のとき:素子ごとの軌跡を考えていき、重ね合わせた結果を全体の軌跡とする。
作図方法1.の説明
例えば、RC並列回路におけるインピーダンス
について、
まず、分母
これを逆数にするとどうなるでしょうか。位相が逆転し、
あとは、分子

になります。全体の式を構成する要素を一つ一つ考えていくことで、作図することができました。
ある実軸を上下に移動する軌跡は、逆数にすると円になる事実は覚えておくと有用です。
作図方法2.の説明
下記の電気回路のインピーダンスの軌跡を考えます。抵抗

この場合、
まず、
次にRLC並列回路のベクトル軌跡を考えます。インピーダンスは
であり、
そこから、
やがて、コンデンサ成分とコイル成分が等しくなり、共振周波数を迎えると、今度はコイルの成分が強くなります。よって、ベクトル線図の虚部は負の領域に突入します。
角周波数を∞とすると、コイル成分が無限大となるので、
上記を総合すると、RLC並列回路の軌跡は時計回りの円になることが分かります。
これを

となります。合成インピーダンスとして一度に考えると式変形が複雑になりがちですが、楽に作図することができました。
解答例
(1)

作図方法1.を用いて解きます。
端子1-1’間の電圧を
まず分母
これを逆数にすると円線図になる。結果を分子の

(2)

端子ab間の電圧
上式に対し、(i)Rが変化する場合を考える。
逆数として考えると、半円になる。位相が逆になるので、下向きの半円になる。

(4)式により、上記の結果に対し実軸を-E/2分オフセットさせれば良いので、求める軌跡は

原点を中心とする下向きの半径E/2の半円であることが分かった。
最後に
ベクトル軌跡は、一部の大学の院試でよく出題されます。
自身の受けようとしている大学の過去問で出題されている場合は、是非対策しましょう。