【電気回路】ベクトル軌跡の作図方法に関する問題

ベクトル軌跡とは

回路の特性を複素平面上にプロットした線図を言います。(円線図とも言います。)

冒頭で与えた問題のように、変化させるパラメータを変数に取り軌跡を描くことで、そのときの回路の特性を視覚的に把握できます。

例えば、あるインピーダンス$Z$の軌跡は下記の図1で表されるとします。下記のような解釈ができます。

これは、周波数によって回路の特性を変えたいときに有用です。

円線図の作図方法

下記の視点で図を書くと、うまく行きやすいです。

作図方法1.の説明

例えば、RC並列回路におけるインピーダンス

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{r}Z={\displaystyle \frac{R}{1+j\omega CR}}\end{array}\end{array}$$

について、$\omega$を0から∞に変化した場合の軌跡を考えます。

まず、分母$1+j\omega CR$について、角周波数を動かした時、虚部のみ影響を受けます。よって、複素平面上では実軸=Rを上下に移動する直線になります。

これを逆数にするとどうなるでしょうか。位相が逆転し、$\omega ={\displaystyle \frac{1}{CR}}$のとき、実部と虚部が一致することから、下向きの半円となります。

あとは、分子$R$の影響を加味すればベクトル線図の完成です。上記の軌跡をR倍すれば良いわけですから

になります。全体の式を構成する要素を一つ一つ考えていくことで、作図することができました。

ある実軸を上下に移動する軌跡は、逆数にすると円になる事実は覚えておくと有用です。

作図方法2.の説明

下記の電気回路のインピーダンスの軌跡を考えます。抵抗$R_o$に対し、RLC並列回路が直列で接続されています。$\omega$を変数とします。

この場合、$R_o$の軌跡とRLC並列回路の軌跡の重ね合わせが求めるベクトル軌跡になります。

まず、$R_o$のベクトル軌跡について、角周波数を持たないことから実軸$R_o$の固定点となります。

次にRLC並列回路のベクトル軌跡を考えます。インピーダンスは

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{r}Z={\displaystyle \frac{1}{R+j\left(\omega L–{\displaystyle \frac{1}{\omega C}}\right)}}\end{array}\end{array}$$

であり、$\omega =0$のときは、コンデンサ成分が無限大となるので、複素平面上の原点(0,0)に当たります。

そこから、$\omega$を増加させたとき、分母のコンデンサ成分は変わらずコイル成分より強いです。通分した分母の虚部$j\omega CR$が正で、有理化すると分子は負になることから、ベクトル線図の虚部は負の領域に移動します。

やがて、コンデンサ成分とコイル成分が等しくなり、共振周波数を迎えると、今度はコイルの成分が強くなります。よって、ベクトル線図の虚部は負の領域に突入します。

角周波数を∞とすると、コイル成分が無限大となるので、$\omega =0$のときと同じく複素平面上の原点(0,0)に当たります。

上記を総合すると、RLC並列回路の軌跡は時計回りの円になることが分かります。

これを$R_o$の軌跡と合成すれば良いです。実軸を$R_o$分オフセットさせれば良いので

となります。合成インピーダンスとして一度に考えると式変形が複雑になりがちですが、楽に作図することができました。

解答例

(1)

作図方法1.を用いて解きます。

端子1-1’間の電圧を$V_L$とすると、回路に流れる電流は

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}{I}_L& ={\displaystyle \frac{V_L}{j\omega L+{\displaystyle \frac{R}{1+j\omega CR}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{V_L}{{\displaystyle \frac{R}{1+(\omega CR{)}^2}}+j(\omega L-{\displaystyle \frac{\omega C{R}^2}{1+(\omega CR{)}^2}})}}\end{array}\end{array}$$

まず分母${\displaystyle \frac{R}{1+(\omega CR{)}^2}}+j(\omega L-{\displaystyle \frac{\omega C{R}^2}{1+(\omega CR{)}^2}})$の軌跡について、Lが変数なので、実軸${\displaystyle \frac{R}{1+(\omega CR{)}^2}}$を上下に移動する軌跡となる。

これを逆数にすると円線図になる。結果を分子の$V_i$倍することに注意すると、求める軌跡は

(2)

端子ab間の電圧$V_{ab}$は、分圧の法則により

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}{V}_{ab}& =({\displaystyle \frac{R}{R+j\omega L}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})E\\ & =({\displaystyle \frac{1}{1+j\omega L/R}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})E\end{array}\end{array}$$

上式に対し、(i)Rが変化する場合を考える。

$1+{\displaystyle \frac{\omega L}{R}}$において、実軸1を虚軸の正の領域に移動する半直線になることから

逆数として考えると、半円になる。位相が逆になるので、下向きの半円になる。

(4)式により、上記の結果に対し実軸を-E/2分オフセットさせれば良いので、求める軌跡は

原点を中心とする下向きの半径E/2の半円であることが分かった。

最後に

ベクトル軌跡は、一部の大学の院試でよく出題されます。

自身の受けようとしている大学の過去問で出題されている場合は、是非対策しましょう。