複素積分の型①有理関数 \(\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac{1}{x^{4}+1}dx\)など、三角関数や対数が無いもの②奇関数の積分 \(\int _{0}^{\infty }\dfrac{x}{x^{3}+1}dx\) など

積分対象の関数をラプラス変換する変換結果に特定の値を代入し、問題で求められている結果の式に近づける行うことは、フーリエ級数展開、変換の場合と変わりません。手計算でラプラス変換することを、計算ミスなく行えるかが勝負だと思います。

微分方程式をラプラス変換し、解を求める方法は多数のサイトで説明されています。積分方程式に対しても同じ手法で解決することができますが、あまり解説するサイトが少ないように感じました。そこで、本記事では、あえて積分方程式をラプラス変換を用いて解いてみます。

結局、他の記事で紹介している例題のように、円弧成分は0に収束することを示します。その上で、実軸上の積分値を留数定理の結果も用いて式変形していく方針になります。ただ、log型関数の特徴として\begin{eqnarray}\log (z)=\log (R e^{i \theta})=\log (R)+i \theta\end{eqnarray}に変形できる事実は使用します。このように分解することで、虚軸成分の無い線路は、右辺の第2項が0になり計算が簡単になります。

この記事で覚えてほしいこと\(√x=z\)と置き、積分対象の関数を三角関数型\(\cos(x^{2})\)に変換する。\(exp(-iz^{2})\)型の積分を与えられた閉路\( C_{1} , C_{2} , C_{3}\)を用いて行う。積分結果の実部が与えられた結果にあたる。

留数定理とは正則関数が閉曲線$C$の内部で有限個の孤立特異点$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$を持つとき、下記の関係が成り立つことを言います。\begin{aligned}\int_{c}f(z)dz=2 \pi i \sum^{n}_{k=1}\mathrm{Res}(f,a_k)\end{aligned}